Questão 149 do ENEM 2009 — Matemática

Entendendo o que são os anéis de Borromeo

A imagem do portão mostra três anéis entrelaçados, e a questão pede o esboço que representa corretamente esse arranjo. A chave está numa propriedade topológica que define os anéis de Borromeo:

São três anéis unidos de tal modo que nenhum par isolado está enlaçado. O conjunto só fica preso porque os três estão juntos ao mesmo tempo. Se qualquer um dos três for removido, os outros dois se soltam completamente.

É um arranjo diferente de uma corrente comum, em que os elos se prendem em cadeia (o primeiro no segundo, o segundo no terceiro).

O critério de decisão: o "teste da remoção"

Como há três anéis, o teste é: tomamos os anéis dois a dois e verificamos se, sozinhos, um estaria preso ao outro. No arranjo de Borromeo, nenhum par pode estar enlaçado isoladamente — cada dupla, vista sem o terceiro anel, deve ficar solta. Ao mesmo tempo, o padrão de cruzamentos alternados (cada anel ora por cima, ora por baixo dos outros) é o que trava os três quando estão juntos.

Aplicando às alternativas

Quatro dos esboços falham nesse critério porque exibem pelo menos um par de anéis preso isoladamente, ou uma amarração em cadeia típica de corrente — nesses casos, remover um anel deixa outros dois ainda presos, o que contraria a definição.

Apenas um esboço apresenta o padrão em que nenhum par está enlaçado sozinho, com os cruzamentos alternando de forma simétrica entre os três anéis, de modo que o trio só se sustenta em conjunto e se desfaz ao se retirar qualquer um deles. Esse esboço é o da alternativa E, que é a representação correta dos anéis de Borromeo.