Questão 150 do ENEM 2022 — Matemática

Para descobrir em quais ginásios o saque será invalidado, precisamos calcular a altura máxima absoluta que a bola atinge em relação ao piso da quadra. A trajetória da bola é descrita por uma função quadrática (uma parábola), e a altura máxima dessa trajetória corresponde à coordenada $y$ do vértice da parábola ($y_v$).

Identificando os coeficientes

A equação dada é:

$y = -\frac{x^2}{6} - \frac{7x}{3} + 12$

A partir dela, extraímos os coeficientes:

• $a = -\frac{1}{6}$
• $b = -\frac{7}{3}$
• $c = 12$

Calculando o vértice da parábola

A fórmula para encontrar a altura máxima (o $y$ do vértice) é:

$y_v = -\frac{\Delta}{4a}$

Primeiro, calculamos o valor de $\Delta$ (discriminante), lembrando que $\Delta = b^2 - 4ac$:

$\Delta = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) \cdot 12$

$\Delta = \frac{49}{9} + 8$

Para somar, precisamos de um denominador comum. Como $8 = \frac{72}{9}$, temos:

$\Delta = \frac{49}{9} + \frac{72}{9} = \frac{121}{9}$

Agora, substituímos $\Delta$ e $a$ na fórmula do $y_v$:

$y_v = -\frac{\frac{121}{9}}{4 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)} = -\frac{\frac{121}{9}}{-\frac{2}{3}}$

Dividindo as frações (conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda):

$y_v = \frac{121}{9} \cdot \frac{3}{2} = \frac{121}{6} \approx 20,16 \text{ m}$

A armadilha do referencial

Aqui está o detalhe decisivo da questão. Observe na figura que o eixo $x$ (onde $y = 0$) não está no chão: ele está posicionado a $1,5$ m de altura em relação ao piso da quadra. A figura mostra essa distância de $1,5$ m marcada entre o piso e o eixo horizontal.

Portanto, o valor $y_v \approx 20,16$ m mede apenas a altura da bola acima do eixo $x$. A altura real máxima em relação ao piso é a altura da parábola somada à altura do referencial:

$\text{Altura real} = 20,16 + 1,5 = 21,66 \text{ m}$

Conclusão

Sabendo que a bola atinge cerca de $21,66$ m em relação ao piso, basta comparar esse valor com a altura do teto de cada ginásio. O saque é invalidado sempre que a bola ultrapassa a altura do teto:

• Ginásio I ($17$ m): invalidado, pois $21,66 > 17$.
• Ginásio II ($18$ m): invalidado, pois $21,66 > 18$.
• Ginásio III ($19$ m): invalidado, pois $21,66 > 19$.
• Ginásio IV ($21$ m): invalidado, pois $21,66 > 21$.
• Ginásio V ($40$ m): válido, pois $21,66 < 40$.

Logo, o saque é invalidado apenas nos ginásios I, II, III e IV, o que corresponde à alternativa D.