Questão 153 do ENEM 2016 — Matemática

ENEM 2016Matemática3ª aplicação

Em sua vez de jogar, um jogador precisa dar uma tacada na bola branca, de forma a acertar a bola 9 e fazê-la cair em uma das caçapas de uma mesa de bilhar. Como a bola 8 encontra-se entre a bola branca e a bola 9, esse jogador adota a estratégia de dar uma tacada na bola branca em direção a uma das laterais da mesa, de forma que, ao rebater, ela saia em uma trajetória retilínea, formando um ângulo de $90^{\circ}$ com a trajetória da tacada, conforme ilustrado na figura.

Representação de uma mesa de bilhar em um plano cartesiano. A bola branca está em x=0,5. A bola 8 está entre a branca e a 9. A trajetória da bola branca atinge a borda superior em x=2 e rebate em um ângulo de 90 graus em direção à bola 9 (3,3), que segue para a caçapa em (6,0).

Com essa estratégia, o jogador conseguiu encaçapar a bola 9. Considere um sistema cartesiano de eixos sobre o plano da mesa, no qual o ponto de contato da bola com a mesa define sua posição nesse sistema. As coordenadas do ponto que representa a bola 9 são $(3 ; 3)$, o centro da caçapa de destino tem coordenadas $(6 ; 0)$ e a abscissa da bola branca é $0,5$, como representados na figura.

Se a estratégia deu certo, a ordenada da posição original da bola branca era

1,3.

1,5.

2,1.

2,2.

2,5.

Resposta correta

Gabarito oficial: alternativa E

Resolução comentada

Para resolver essa questão, vamos analisar as trajetórias da bola branca antes e depois de bater na lateral da mesa, modelando cada uma como uma reta na geometria analítica.

Trajetória de saída (após o rebote)

Depois de rebater, a bola segue até a bola 9, no ponto $(3, 3)$ , em direção à caçapa de destino, no ponto $(6, 0)$ . Com esses dois pontos, calculamos o coeficiente angular $m_2$ :

$m_2 = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0 - 3}{6 - 3} = \frac{-3}{3} = -1$

Usando a fórmula $y - y_0 = m(x - x_0)$ com o ponto da caçapa $(6, 0)$ :

$y - 0 = -1 \cdot (x - 6) \;\Rightarrow\; y = -x + 6$

Ponto de impacto na lateral

A figura indica a abscissa do ponto de impacto na lateral superior da mesa: $x = 2$ , conforme a linha tracejada vertical representada. Como esse ponto pertence à trajetória de saída, encontramos sua ordenada substituindo $x = 2$ na equação:

$y = -2 + 6 = 4$

Logo, o ponto de impacto é $(2, 4)$ .

Trajetória de entrada (antes do rebote)

O enunciado afirma que a trajetória de saída forma um ângulo de $90^{\circ}$ com a da tacada. Quando duas retas são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é $-1$ . Chamando de $m_1$ o coeficiente da reta de entrada:

$m_1 \cdot m_2 = -1 \;\Rightarrow\; m_1 \cdot (-1) = -1 \;\Rightarrow\; m_1 = 1$

A reta de entrada passa pelo ponto de impacto $(2, 4)$ e tem inclinação $m_1 = 1$ :

$y - 4 = 1 \cdot (x - 2) \;\Rightarrow\; y = x + 2$

Posição da bola branca

O problema pede a ordenada da posição original da bola branca, cuja abscissa é $0,5$ . Como a bola branca está sobre a reta de entrada, substituímos $x = 0,5$ :

$y = 0,5 + 2 = 2,5$

Assim, a ordenada da posição original da bola branca era $2,5$ , correspondente à alternativa E.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2016 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.