Questão 164 do ENEM 2020 — Matemática

O problema nos pede para encontrar a expressão matemática de uma função quadrática, cujo gráfico é uma parábola, que modela os gastos de uma prefeitura ao longo dos meses do ano. A função tem o formato geral: $T(x) = ax^2 + bx + c$ onde $x$ representa o mês e $T(x)$ o gasto em milhares de reais.

O enunciado nos fornece três informações fundamentais:

• No mês de janeiro ($x = 1$), o gasto foi de $72$ mil reais. Ou seja, $T(1) = 72$.
• No mês de dezembro ($x = 12$), o gasto foi de $105$ mil reais. Ou seja, $T(12) = 105$.
• O maior gasto ocorreu no mês de agosto ($x = 8$).

O vértice da parábola

A informação de que o "maior gasto" ocorreu no mês $8$ é a chave da questão. Em uma função quadrática, o valor máximo (ou mínimo) sempre ocorre no vértice da parábola. Como estamos falando de um valor máximo, sabemos que a parábola tem a concavidade voltada para baixo (o que significa que o coeficiente $a$ será negativo) e que a coordenada $x$ do vértice ($x_v$) é igual a $8$.

A fórmula para encontrar o $x$ do vértice é: $x_v = -\frac{b}{2a}$

Substituindo o valor que conhecemos: $8 = -\frac{b}{2a}$

Multiplicando cruzado, podemos isolar o $b$ em função de $a$: $16a = -b \implies b = -16a$

Guarde essa relação, pois ela será muito útil para simplificar nossas contas.

Montando o sistema de equações

Agora, vamos usar os dois pontos que conhecemos para montar equações, substituindo o $x$ e o $T(x)$ na forma geral da função.

Para o mês de janeiro ($x = 1$ e $T(1) = 72$): $a(1)^2 + b(1) + c = 72$ $a + b + c = 72$

Para o mês de dezembro ($x = 12$ e $T(12) = 105$): $a(12)^2 + b(12) + c = 105$ $144a + 12b + c = 105$

Temos um sistema com duas equações, mas três incógnitas ($a$, $b$ e $c$). É aqui que usamos a relação $b = -16a$ que encontramos no vértice.

Resolvendo o sistema

Vamos substituir $b$ por $-16a$ nas duas equações que montamos.

Na primeira equação: $a + (-16a) + c = 72$ $-15a + c = 72$

Na segunda equação: $144a + 12(-16a) + c = 105$ $144a - 192a + c = 105$ $-48a + c = 105$

Agora temos um sistema muito mais simples, com apenas duas incógnitas:

1. $-15a + c = 72$
2. $-48a + c = 105$

Podemos isolar o $c$ na primeira equação: $c = 72 + 15a$

E substituir esse valor de $c$ na segunda equação: $-48a + (72 + 15a) = 105$ $-33a + 72 = 105$ $-33a = 105 - 72$ $-33a = 33$ $a = \frac{33}{-33}$ $a = -1$

Com o valor de $a$ em mãos, fica fácil encontrar os outros coeficientes. Vamos achar o $c$ substituindo $a$ na equação isolada: $c = 72 + 15(-1)$ $c = 72 - 15$ $c = 57$

E, por fim, vamos achar o $b$ usando aquela nossa primeira relação do vértice: $b = -16a$ $b = -16(-1)$ $b = 16$

Conclusão

Encontramos os três coeficientes da nossa função quadrática: $a = -1$, $b = 16$ e $c = 57$. Substituindo esses valores na forma geral $T(x) = ax^2 + bx + c$, obtemos a expressão final: $T(x) = -x^2 + 16x + 57$

Analisando as alternativas, essa expressão corresponde exatamente à alternativa A.