Questão 178 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos primeiro entender o que significa o time R ser o único vencedor do campeonato. Como os times R e S estão empatados com $68$ pontos antes da última rodada, para que R seja o campeão isolado, ele precisa fazer mais pontos que S nessa rodada final.

Vamos organizar as probabilidades de cada resultado (Vitória, Empate e Derrota) para os dois times. Lembrando que a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis de um jogo deve ser $100\%$.

Para o time R:

• Probabilidade de ganhar ($V_R$): $80\%$ ou $0,80$
• Probabilidade de empatar ($E_R$): $15\%$ ou $0,15$
• Probabilidade de perder ($D_R$): $100\% - 80\% - 15\% = 5\%$ ou $0,05$

Para o time S:

• Probabilidade de ganhar ($V_S$): $40\%$ ou $0,40$
• Probabilidade de empatar ($E_S$): $20\%$ ou $0,20$
• Probabilidade de perder ($D_S$): $100\% - 40\% - 20\% = 40\%$ ou $0,40$

Sabemos que uma vitória vale $3$ pontos, um empate vale $1$ ponto e uma derrota vale $0$ ponto. Agora, vamos analisar em quais cenários o time R consegue fazer mais pontos que o time S:

Cenário 1: O time R ganha

Se R ganhar, ele soma $3$ pontos. Para que R seja o único campeão, S não pode ganhar (pois se S ganhar, também soma $3$ pontos e o campeonato termina empatado). Logo, S deve empatar ($1$ ponto) ou perder ($0$ ponto).

A probabilidade de R ganhar é $0,80$. A probabilidade de S não ganhar (empatar ou perder) é a soma de suas respectivas probabilidades: $0,20 + 0,40 = 0,60$.

Como os jogos são independentes, multiplicamos as probabilidades: $P(\text{Cenário 1}) = 0,80 \times 0,60 = 0,48$

Cenário 2: O time R empata

Se R empatar, ele soma $1$ ponto. Para que R seja o único campeão, S precisa fazer menos de $1$ ponto, ou seja, S obrigatoriamente tem que perder ($0$ ponto).

A probabilidade de R empatar é $0,15$. A probabilidade de S perder é $0,40$.

Multiplicando as probabilidades: $P(\text{Cenário 2}) = 0,15 \times 0,40 = 0,06$

(Nota: Se R perder, ele soma $0$ ponto. Nesse caso, é impossível ele fazer mais pontos que S, pois o mínimo que S pode fazer é $0$ ponto, o que resultaria em um empate no campeonato ou vitória de S).

Probabilidade Total

Para encontrar a probabilidade total de R ser o único vencedor, basta somarmos as probabilidades dos cenários favoráveis que encontramos: $P(\text{Total}) = P(\text{Cenário 1}) + P(\text{Cenário 2})$ $P(\text{Total}) = 0,48 + 0,06 = 0,54$

Transformando o valor decimal em porcentagem, temos $54\%$.