Questão 168 do ENEM 2010 — Matemática

Compreensão do Problema

O objetivo é igualar o volume de champanhe de duas taças de formatos diferentes: uma em formato de hemisfério (metade de uma esfera) e outra em formato de cone. Queremos a altura $h$ do líquido na taça cônica para que ela contenha a mesma quantidade da taça hemisférica completamente cheia.

A figura indica que o raio da taça hemisférica é igual ao raio da superfície do líquido no cone — ou seja, os dois recipientes compartilham o mesmo raio $R$, com $R = 3\text{ cm}$.

Volume no Hemisfério

O enunciado fornece a fórmula do volume de uma esfera completa: $V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \pi R^3$

Como a taça é um hemisfério (metade da esfera) e está totalmente cheia, seu volume é a metade: $V_{\text{hemisfério}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi R^3$

Substituindo $R = 3\text{ cm}$: $V_{\text{hemisfério}} = \frac{2}{3} \pi (3)^3 = \frac{2}{3} \pi (27) = 18\pi\text{ cm}^3$

Esse é o volume de champanhe que precisa caber na taça cônica.

Altura no Cone

O volume do cone é dado pela fórmula do enunciado: $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \pi R^2 h$

Com raio $R = 3\text{ cm}$ e exigindo que o volume seja $18\pi\text{ cm}^3$: $18\pi = \frac{1}{3} \pi (3)^2 \cdot h$ $18\pi = \frac{1}{3} \pi (9) \cdot h$ $18\pi = 3\pi \cdot h$

Isolando $h$, dividimos ambos os lados por $3\pi$: $h = \frac{18\pi}{3\pi} = 6\text{ cm}$

Portanto, a altura do champanhe na taça cônica deve ser de 6,00 cm, o que corresponde à alternativa B.