Questão 142 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos determinar a área da nova região que será pavimentada. Essa região corresponde a uma coroa circular, ou seja, a diferença entre a área do novo círculo ampliado e a área do círculo original que já está pavimentado.

Analisando a área original

O enunciado nos diz que a área pavimentada original tem a forma de um círculo com diâmetro de $6 \text{ m}$. Como a fórmula da área do círculo depende do raio ($A = \pi \cdot r^2$), o primeiro passo é encontrar o raio original dividindo o diâmetro por $2$: $r_{\text{original}} = \frac{6}{2} = 3 \text{ m}$

Agora, calculamos a área dessa região inicial, utilizando a aproximação $\pi = 3$ fornecida pela questão: $A_{\text{original}} = \pi \cdot r_{\text{original}}^2$ $A_{\text{original}} = 3 \cdot 3^2 = 3 \cdot 9 = 27 \text{ m}^2$

Calculando a nova área total

A administração deseja aumentar o diâmetro da região em $8 \text{ m}$. Portanto, o novo diâmetro será a soma do diâmetro original com esse aumento: $D_{\text{novo}} = 6 + 8 = 14 \text{ m}$

Novamente, precisamos do raio para calcular a área. O novo raio será a metade do novo diâmetro: $r_{\text{novo}} = \frac{14}{2} = 7 \text{ m}$

A área total do novo projeto circular será: $A_{\text{total}} = \pi \cdot r_{\text{novo}}^2$ $A_{\text{total}} = 3 \cdot 7^2 = 3 \cdot 49 = 147 \text{ m}^2$

Determinando a área a ser pavimentada

Atenção a um detalhe crucial: o revestimento da parte já existente será mantido. Isso significa que não precisamos pavimentar os $147 \text{ m}^2$ inteiros, mas apenas a parte "extra" que foi adicionada ao redor.

Para encontrar essa área extra (a coroa circular), subtraímos a área original da área total: $A_{\text{extra}} = A_{\text{total}} - A_{\text{original}}$ $A_{\text{extra}} = 147 - 27 = 120 \text{ m}^2$

Conclusão do síndico

O condomínio dispõe de material em estoque suficiente para pavimentar $100 \text{ m}^2$. Como a nova área a ser pavimentada exige $120 \text{ m}^2$ de material, concluímos que o estoque não será suficiente.

Analisando as alternativas, a única que descreve corretamente essa situação é a que afirma que o material não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede $120 \text{ m}^2$.