Questão 173 do ENEM 2019 — Matemática

Entendendo o Problema

A questão nos pede para calcular a probabilidade de uma declaração ser considerada inconsistente, dado que ela era fraudulenta. Essa expressão "dado que" é a chave da questão: ela nos indica que estamos lidando com uma probabilidade condicional.

Isso significa que o nosso "universo" (o total de casos possíveis) não é mais o total de todas as declarações, mas sim apenas as declarações fraudulentas. Nosso objetivo é descobrir qual a proporção das declarações inconsistentes dentro desse grupo restrito das fraudulentas.

Organizando as Informações

Vamos dividir todas as declarações do país em dois grandes grupos, conforme o enunciado:

• Inconsistentes: representam $20\%$ do total (ou $0,20$).
• Consistentes: representam o restante, ou seja, $100\% - 20\% = 80\%$ do total (ou $0,80$).

Dentro de cada um desses grupos, existem declarações que são fraudulentas. Vamos calcular a porcentagem de fraudes que vem de cada grupo em relação ao total geral de declarações.

Calculando as Fraudes em Cada Grupo

Primeiro, vamos olhar para o grupo das declarações inconsistentes. O texto afirma que $25\%$ delas são fraudulentas. Para saber quanto isso representa do total geral, multiplicamos as probabilidades:

$P(\text{Inconsistente e Fraudulenta}) = 0,20 \times 0,25 = 0,05$

Isso significa que $5\%$ de todas as declarações do país são inconsistentes e fraudulentas ao mesmo tempo.

Agora, vamos olhar para o grupo das declarações consistentes (aquelas que não apresentaram inconsistências). O texto diz que $6,25\%$ delas são fraudulentas. Fazendo a multiplicação:

$P(\text{Consistente e Fraudulenta}) = 0,80 \times 0,0625 = 0,05$

Ou seja, outros $5\%$ de todas as declarações do país são consistentes, mas ainda assim fraudulentas.

A Probabilidade Condicional

Para aplicar a probabilidade condicional, precisamos saber o total de declarações fraudulentas. Basta somar as fraudes que vieram dos dois grupos:

$\text{Total de Fraudulentas} = 0,05 + 0,05 = 0,10$

A pergunta final é: sabendo que a declaração é fraudulenta (estamos olhando apenas para esse grupo de $0,10$), qual a chance de ela ter vindo do grupo das inconsistentes (que representam $0,05$)?

A fórmula da probabilidade nos diz que devemos dividir os casos favoráveis pelos casos possíveis:

$P(\text{Inconsistente} \mid \text{Fraudulenta}) = \frac{\text{Inconsistentes e Fraudulentas}}{\text{Total de Fraudulentas}}$

Substituindo os valores que encontramos:

$P(\text{Inconsistente} \mid \text{Fraudulenta}) = \frac{0,05}{0,10} = 0,5$

Portanto, a probabilidade é de $0,5$ (ou $50\%$, que nas alternativas está escrito na forma decimal com quatro casas: $0,5000$).