Questão 100 do ENEM 2022 — Ciências da Natureza

Para resolver essa questão, precisamos dividir o problema em duas partes. O enunciado nos apresenta dois experimentos feitos com a mesma mangueira, o que significa que a velocidade de saída da água ($v_0$) é a mesma em ambos os casos. Nosso objetivo é usar os dados do primeiro experimento (lançamento horizontal) para descobrir essa velocidade e, em seguida, aplicá-la no segundo experimento (lançamento vertical) para encontrar a altura máxima alcançada.

Analisando o lançamento horizontal

No primeiro experimento, a mangueira está posicionada horizontalmente a uma altura $h = 1 \text{ m}$ do chão, e a água atinge o solo a uma distância horizontal $d = 3 \text{ m}$.

O movimento da água no ar é um lançamento horizontal, que pode ser decomposto em dois movimentos independentes (Princípio de Galileu):

• Na vertical, temos uma queda livre, onde a gravidade atua puxando a água para baixo.
• Na horizontal, temos um movimento retilíneo uniforme (MRU), pois não há aceleração nessa direção (desprezando a resistência do ar).

Primeiro, vamos descobrir quanto tempo a água leva para cair $1 \text{ m}$. Usamos a equação da posição para a queda livre: $h = \frac{g \cdot t^2}{2}$

Substituindo os valores dados ($h = 1 \text{ m}$ e $g = 10 \text{ m/s}^2$): $1 = \frac{10 \cdot t^2}{2}$ $1 = 5 \cdot t^2$ $t^2 = \frac{1}{5}$ $t^2 = 0,2 \text{ s}^2$

Uma dica importante aqui: não precisamos calcular a raiz quadrada de $0,2$ agora. Vamos guardar o valor de $t^2$, pois isso facilitará as contas mais à frente.

Agora, vamos olhar para o movimento horizontal. Sabemos que a água percorreu $3 \text{ m}$ durante esse tempo de queda. Usando a equação do MRU: $d = v_0 \cdot t$ $3 = v_0 \cdot t$

Para nos livrarmos do $t$ e usarmos o $t^2$ que já conhecemos, podemos elevar os dois lados da equação ao quadrado: $3^2 = (v_0 \cdot t)^2$ $9 = v_0^2 \cdot t^2$

Substituindo $t^2 = 0,2$: $9 = v_0^2 \cdot 0,2$ $v_0^2 = \frac{9}{0,2}$ $v_0^2 = 45 \text{ (m/s)}^2$

Novamente, não precisamos extrair a raiz quadrada para achar $v_0$. O valor de $v_0^2$ será exatamente o que precisaremos na próxima etapa.

Analisando o lançamento vertical

No segundo experimento, a mangueira é apontada totalmente para cima. A água sai com a mesma velocidade inicial ao quadrado ($v_0^2 = 45$) e vai subindo até parar momentaneamente na altura máxima, ou seja, sua velocidade final lá no topo é zero ($v = 0$). Como a gravidade agora atua contra o movimento, a aceleração é $-10 \text{ m/s}^2$.

Para encontrar a altura máxima ($H$), a ferramenta ideal é a Equação de Torricelli, pois ela relaciona velocidades, aceleração e deslocamento sem precisarmos do tempo: $v^2 = v_0^2 - 2 \cdot g \cdot H$

Substituindo os valores que encontramos e conhecemos: $0^2 = 45 - 2 \cdot 10 \cdot H$ $0 = 45 - 20 \cdot H$

Passando o termo com $H$ para o outro lado: $20 \cdot H = 45$ $H = \frac{45}{20}$

Simplificando a fração (dividindo por $2$ em cima e embaixo, e depois ajustando a vírgula): $H = \frac{4,5}{2}$ $H = 2,25 \text{ m}$

Portanto, quando a mangueira for posicionada na vertical, o jato de água alcançará uma altura de $2,25 \text{ m}$.