Questão 165 do ENEM 2025 — Matemática

Entendendo o Problema

O objetivo da questão é identificar qual dos 5 grupos garante, com certeza absoluta, que a maioria de suas mulheres (ou seja, pelo menos 6 das 11) tenha idades entre 20 e 30 anos.

Primeiro, vamos organizar os dados fornecidos no quadro para cada grupo de 11 mulheres, desfazendo a formatação do texto:

• Grupo 1: Média = $25$, Desvio padrão = $10$
• Grupo 2: Média = $25$, Desvio padrão = $9$
• Grupo 3: Média = $25$, Desvio padrão = $4$
• Grupo 4: Média = $25$, Desvio padrão = $1$
• Grupo 5: Menor idade = $20$, Maior idade = $35$

Analisando o Grupo 5

Para o Grupo 5, sabemos apenas que a mulher mais nova tem $20$ anos e a mais velha tem $35$ anos. Não temos informações sobre as outras 9 mulheres. Elas poderiam, por exemplo, ter todas $35$ anos. Nesse cenário extremo, teríamos 10 mulheres com $35$ anos (fora do intervalo de 20 a 30) e apenas 1 com $20$ anos. Logo, não podemos garantir que a maioria está no intervalo desejado.

O Papel do Desvio Padrão nos Grupos 1 a 4

Os grupos 1, 2, 3 e 4 possuem a mesma média de idade: $25$ anos. O que os diferencia é o desvio padrão, que mede o quanto as idades estão espalhadas em torno dessa média. Quanto menor o desvio padrão, mais próximas de $25$ anos estão as idades das mulheres.

Para que uma mulher esteja fora do intervalo de 20 a 30 anos, sua idade deve ser menor que $20$ ou maior que $30$. Como a média do grupo é $25$, a distância (desvio) da idade dessa mulher até a média deve ser estritamente maior que $5$ anos.

Na estatística, a variância ($V$) é o quadrado do desvio padrão ($DP$), e ela é calculada pela média dos quadrados dos desvios de cada valor em relação à média: $V = DP^2 = \frac{\sum (x_i - \text{Média})^2}{n}$

Onde $n = 11$ (total de mulheres no grupo). Podemos reescrever isso para encontrar a soma dos quadrados dos desvios de todas as mulheres do grupo: $\sum (x_i - 25)^2 = 11 \cdot DP^2$

Se uma única mulher estiver fora do intervalo de 20 a 30 anos, o quadrado do seu desvio será maior que $5^2 = 25$. Ou seja, ela sozinha já contribuiria com mais de $25$ para a soma total.

Testando o Grupo 4

Vamos aplicar essa lógica ao Grupo 4, que possui o menor desvio padrão ($DP = 1$): $V = 1^2 = 1$

A soma total dos quadrados dos desvios de todas as 11 mulheres será: $\sum (x_i - 25)^2 = 11 \cdot 1 = 11$

Se houvesse apenas uma mulher fora do intervalo de 20 a 30 anos, a contribuição dela para essa soma seria maior que $25$. Como a soma total de todas as 11 mulheres juntas é apenas $11$, é matematicamente impossível que exista sequer uma mulher fora desse intervalo!

Isso significa que todas as 11 mulheres do Grupo 4 têm idades entre 20 e 30 anos. Consequentemente, o Grupo 4 atende com total certeza ao critério de ter a maioria das mulheres nesse intervalo.

(A título de curiosidade, no Grupo 3, onde $DP = 4$, a soma dos quadrados seria $11 \cdot 4^2 = 176$. Como $176$ é bem maior que $25$, seria possível ter várias mulheres fora do intervalo, não nos dando a mesma garantia).