Questão 145 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir as informações do texto em equações matemáticas. O problema nos fornece a média geral de tempo de leitura e as médias específicas de três grupos de idade, além de suas respectivas porcentagens na população entrevistada. Isso nos indica que usaremos o conceito de média aritmética ponderada.

Montando as equações

A primeira informação importante que temos está implícita: a soma de todas as porcentagens da população entrevistada deve ser igual a $100\%$. Observando o quadro, temos as porcentagens $x$, $y$ e $x$ para as três faixas etárias. Assim, podemos montar nossa primeira equação:

$x + y + x = 100$ $2x + y = 100$

A segunda equação virá do cálculo da média ponderada do tempo de leitura. Sabemos que a média geral é de $6$ minutos. Para calcular essa média, multiplicamos o tempo médio de leitura de cada grupo pela sua respectiva porcentagem (que funciona como o "peso" na média ponderada), somamos tudo e dividimos pelo total, que é $100\%$:

$\frac{3 \cdot x + 5 \cdot y + 12 \cdot x}{100} = 6$

Podemos simplificar o numerador somando os termos com $x$:

$\frac{15x + 5y}{100} = 6$

Multiplicando ambos os lados por $100$, temos:

$15x + 5y = 600$

Para facilitar os cálculos, podemos dividir toda essa equação por $5$:

$3x + y = 120$

Resolvendo o sistema

Agora temos um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:

1. $2x + y = 100$
2. $3x + y = 120$

Uma maneira muito simples de resolver esse sistema é pelo método da subtração. Se subtrairmos a primeira equação da segunda, eliminamos a variável $y$:

$(3x + y) - (2x + y) = 120 - 100$ $3x - 2x + y - y = 20$ $x = 20$

Agora que sabemos que $x = 20$, basta substituir esse valor em qualquer uma das equações originais para encontrar $y$. Usando a primeira equação:

$2(20) + y = 100$ $40 + y = 100$ $y = 100 - 40$ $y = 60$

Portanto, os valores de $x$ e $y$ são, respectivamente, $20$ e $60$.

Dica extra: Em questões de múltipla escolha, você poderia eliminar rapidamente algumas alternativas apenas testando a soma das porcentagens. Na alternativa D ($20$ e $80$), a soma $x + y + x$ daria $20 + 80 + 20 = 120\%$, o que é impossível. Na alternativa B ($10$ e $90$), a soma daria $10 + 90 + 10 = 110\%$, também impossível. Isso já reduziria bastante as opções!

A alternativa correta é a C.