Questão 176 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir a situação descrita no enunciado para a linguagem matemática e observar o comportamento da quantidade de bactérias ao longo do tempo.

Vamos chamar a quantidade inicial de bactérias de $N_0$. O enunciado nos diz que a população é reduzida pela metade a cada hora. Vamos ver o que acontece hora após hora:

• No tempo $t = 0$ (início), temos $N_0$ bactérias.
• Após $1$ hora ($t = 1$), a população cai pela metade: $N(1) = N_0 \cdot \frac{1}{2}$.
• Após $2$ horas ($t = 2$), a população cai pela metade novamente em relação à hora anterior: $N(2) = \left(N_0 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2$.
• Após $3$ horas ($t = 3$), cai pela metade mais uma vez: $N(3) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$.

Seguindo esse padrão, podemos generalizar a quantidade de bactérias para qualquer instante de tempo $t$ (em horas) através da seguinte lei de formação:

$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t$

Observe a estrutura dessa equação: a variável independente, que é o tempo $t$, encontra-se no expoente. Na matemática, toda função em que a variável está no expoente de uma base constante (neste caso, a base é $\frac{1}{2}$) é classificada como uma função exponencial.

Como a base $\frac{1}{2}$ é um valor entre $0$ e $1$, trata-se especificamente de uma função exponencial decrescente, o que faz todo o sentido, já que a população de bactérias está diminuindo com o passar do tempo.

Portanto, o modelo matemático que descreve o número de bactérias em função do tempo é uma função do tipo exponencial.