Questão 172 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos descobrir a área do desenho da planta nas duas escalas diferentes e, em seguida, calcular a diferença entre elas. Como a resposta final é pedida em centímetros quadrados ($\text{cm}^2$), o primeiro passo ideal é converter as medidas reais do apartamento de metros para centímetros.

Sabemos que $1\text{ m}$ equivale a $100\text{ cm}$. Portanto, as dimensões reais do apartamento são:

• Largura: $6\text{ m} = 600\text{ cm}$
• Comprimento: $8\text{ m} = 800\text{ cm}$

Calculando a área na escala $1:50$

A escala $1:50$ significa que cada $50\text{ cm}$ na realidade correspondem a $1\text{ cm}$ no desenho. Para encontrar as medidas no papel, basta dividir as dimensões reais por $50$:

• Largura no desenho: $\frac{600}{50} = 12\text{ cm}$
• Comprimento no desenho: $\frac{800}{50} = 16\text{ cm}$

A área do desenho nessa primeira escala será a multiplicação dessas dimensões: $A_{50} = 12\text{ cm} \times 16\text{ cm} = 192\text{ cm}^2$

Calculando a área na escala $1:40$

Agora, a escala mudou para $1:40$, o que significa que cada $40\text{ cm}$ reais correspondem a $1\text{ cm}$ no desenho. Vamos encontrar as novas medidas no papel dividindo as dimensões reais por $40$:

• Nova largura no desenho: $\frac{600}{40} = 15\text{ cm}$
• Novo comprimento no desenho: $\frac{800}{40} = 20\text{ cm}$

A área do desenho nessa nova escala será: $A_{40} = 15\text{ cm} \times 20\text{ cm} = 300\text{ cm}^2$

Encontrando o aumento da área

O comando da questão pede o quanto a área do desenho aumentou. Para isso, basta subtrair a área inicial da área final: $\Delta A = A_{40} - A_{50}$ $\Delta A = 300\text{ cm}^2 - 192\text{ cm}^2 = 108\text{ cm}^2$

Portanto, a área do desenho da planta aumentou em $108\text{ cm}^2$.