Questão 141 do ENEM 2022 — Matemática

Para resolver, precisamos analisar a cartela de Pedro e ver exatamente o que falta para ele fechar uma linha, coluna ou diagonal. Ele pode ganhar em uma das duas próximas rodadas, e esses cenários são mutuamente excludentes (se ganhar na primeira, o jogo acaba). Vamos calcular a probabilidade de cada um e somá-las.

Situação atual

O jogo tem $50$ números. Como $4$ já foram sorteados ($03$, $27$, $07$ e $48$), restam $50 - 4 = 46$ bolas para o próximo sorteio.

Conforme a cartela de Pedro (Figura 2), os números já assinalados são $03$, $48$, $27$ e $07$. Mapeando o que falta para cada possibilidade de vitória em até duas rodadas:

• Linha (a de cima): três números já estão assinalados; falta apenas um número para fechá-la.
• Coluna (a da direita): dois números já estão assinalados; faltam dois números.
• Diagonal: dois números já estão assinalados; faltam dois números.

Qualquer outra linha, coluna ou diagonal exigiria $3$ ou mais números novos, o que é impossível em apenas duas rodadas.

Cenário 1 — Ganhar já no próximo sorteio

A única forma de vencer imediatamente na próxima bola é completar a linha, que precisa de um único número. Há $1$ bola favorável entre as $46$ restantes: $P_1 = \frac{1}{46}$

Essa fração aparece como primeira parcela em todas as alternativas.

Cenário 2 — Ganhar no sorteio seguinte

Se Pedro não vencer na primeira bola, ainda pode vencer na segunda. São dois sorteios sucessivos sem reposição, então o total de resultados ordenados é $46 \times 45$. Contamos os casos favoráveis:

Caminho A — o número que falta na linha sai atrasado. A primeira bola é qualquer um dos outros $45$ números (nenhum deles fecha a linha na hora), e a segunda é justamente o número que faltava na linha: $45 \times 1 = 45 \text{ casos}$

Caminho B — fechar a coluna. Os dois números que faltam na coluna precisam sair nessas duas rodadas, em qualquer ordem (primeiro um, depois o outro, ou vice-versa): $2 \text{ casos}$

Caminho C — fechar a diagonal. Mesma lógica: os dois números que faltam na diagonal, nas duas ordens possíveis: $2 \text{ casos}$

Somando: $45 + 2 + 2 = 49 \text{ casos favoráveis}$

Logo: $P_2 = \frac{49}{46 \times 45}$

Juntando as probabilidades

$P_{\text{total}} = P_1 + P_2 = \frac{1}{46} + \frac{49}{46 \times 45}$

Essa expressão corresponde exatamente à alternativa E. O erro mais comum é esquecer de contar os $45$ casos em que o número da linha sai só no segundo sorteio, o que levaria a um numerador de apenas $4$ (só as ordens da coluna e da diagonal).