Questão 153 do ENEM 2025 — Matemática

Esta questão pede a equação da trajetória em que o herói permanece equidistante dos dois vilões, posicionados em $V$ e $T$. Vamos traduzir isso para a Geometria Analítica.

1. Qual é a trajetória?

O conjunto dos pontos que estão sempre à mesma distância de dois pontos fixos é a mediatriz do segmento que os une. Logo, a trajetória procurada é a mediatriz do segmento $VT$.

Como $STUV$ é um quadrado, seus lados têm o mesmo comprimento; em particular $SV = ST$, ou seja, o ponto $S$ já é equidistante de $V$ e de $T$. Assim, a trajetória é a reta que passa por $S$ e é perpendicular ao segmento $VT$.

2. As posições dadas na figura

A figura do enunciado marca as posições dos pontos no plano cartesiano. Dela, tomamos as coordenadas indicadas: $S(6, 2)$ e $V(8, 6)$. O ponto $T$ é o vértice oposto a $V$ no quadrado, situado à esquerda, conforme a figura.

Para localizar $T$, usamos a estrutura do quadrado. O deslocamento de $S$ para $V$ é: $\Delta x = 8 - 6 = 2, \qquad \Delta y = 6 - 2 = 4$ Como lados consecutivos de um quadrado são perpendiculares e de mesmo comprimento, o deslocamento de $S$ para $T$ é esse vetor girado $90^\circ$. Girando $(2, 4)$ no sentido que leva ao vértice à esquerda de $S$ (como mostra a figura), obtemos $(-4, 2)$. Aplicando a partir de $S(6, 2)$: $x_T = 6 + (-4) = 2, \qquad y_T = 2 + 2 = 4$ ou seja, $T(2, 4)$.

3. Equação da trajetória

Com $V(8, 6)$ e $T(2, 4)$, o coeficiente angular do segmento $VT$ é: $m_{VT} = \frac{6 - 4}{8 - 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ A trajetória é perpendicular a $VT$, então seu coeficiente angular $m$ satisfaz $m \cdot m_{VT} = -1$: $m = -3$ A reta passa por $S(6, 2)$ com inclinação $-3$. Usando $y - y_0 = m(x - x_0)$: $y - 2 = -3(x - 6)$ $y - 2 = -3x + 18$ $y = -3x + 20$

Essa é a equação da trajetória que mantém o herói equidistante dos vilões, correspondendo à alternativa A.