Questão 168 do ENEM 2011 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar quantas combinações de duas bolas distintas resultam nas somas escolhidas por cada um dos jogadores. Como as bolas coloridas são numeradas de $1$ a $15$ e não há bolas repetidas, devemos encontrar pares de números diferentes dentro desse intervalo que somem $12$, $17$ e $22$.

Analisando a escolha de Arthur (Soma $12$)

Vamos listar todos os pares de números de $1$ a $15$ cuja soma seja $12$:

• $1 + 11 = 12$
• $2 + 10 = 12$
• $3 + 9 = 12$
• $4 + 8 = 12$
• $5 + 7 = 12$

Note que não podemos usar $6 + 6$, pois só existe uma bola de número $6$ na mesa. Portanto, Arthur tem $5$ possibilidades de ganhar o jogo.

Analisando a escolha de Bernardo (Soma $17$)

Agora, vamos listar os pares cuja soma seja $17$:

• $2 + 15 = 17$
• $3 + 14 = 17$
• $4 + 13 = 17$
• $5 + 12 = 17$
• $6 + 11 = 17$
• $7 + 10 = 17$
• $8 + 9 = 17$

Nesse caso, Bernardo tem $7$ possibilidades de compor a sua soma.

Analisando a escolha de Caio (Soma $22$)

Por fim, vamos listar os pares cuja soma seja $22$:

• $7 + 15 = 22$
• $8 + 14 = 22$
• $9 + 13 = 22$
• $10 + 12 = 22$

Novamente, não podemos usar $11 + 11$ porque só há uma bola de número $11$. Assim, Caio tem $4$ possibilidades de ganhar.

Conclusão

Comparando as chances de cada jogador, vemos que Bernardo possui o maior número de combinações favoráveis ($7$ possibilidades), seguido por Arthur ($5$ possibilidades) e, por último, Caio ($4$ possibilidades). Como a probabilidade de ganhar é diretamente proporcional ao número de casos favoráveis, Bernardo é quem tem a maior probabilidade de vencer a partida.

Isso nos leva diretamente à alternativa que afirma que Bernardo tem a maior probabilidade, com $7$ possibilidades contra $5$ de Arthur e $4$ de Caio.