Questão 167 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar a função exponencial dada pelo enunciado, que modela o crescimento da população de bactérias:

$N(t) = N_0 e^{kt}$

Onde:

• $N(t)$ é o número de bactérias após $t$ horas;
• $N_0$ é o número inicial de bactérias (quando $t = 0$);
• $k$ é uma constante real positiva;
• $t$ é o tempo em horas.

O enunciado nos dá uma informação fundamental: após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado. Isso significa que, quando $t = 1$, a quantidade de bactérias $N(1)$ é igual a $3N_0$. Vamos substituir esses valores na nossa função para descobrir o valor de $e^k$:

$N(1) = N_0 e^{k \cdot 1}$ $3N_0 = N_0 e^k$

Como $N_0$ é maior que $1$ (e, portanto, diferente de zero), podemos dividir ambos os lados da equação por $N_0$:

$e^k = 3$

Agora que sabemos que $e^k = 3$, podemos responder à pergunta do problema: qual será o número de bactérias após cinco horas de observação? Ou seja, precisamos calcular $N(5)$.

Substituindo $t = 5$ na função original, temos:

$N(5) = N_0 e^{k \cdot 5}$

Usando as propriedades das potências, podemos reescrever $e^{5k}$ como $(e^k)^5$. Isso é muito útil porque já conhecemos o valor de $e^k$:

$N(5) = N_0 (e^k)^5$

Substituindo $e^k = 3$:

$N(5) = N_0 (3)^5$

Agora, basta calcular o valor de $3^5$:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Portanto, a quantidade de bactérias após 5 horas será:

$N(5) = 243N_0$

Isso significa que, após cinco horas, o número de bactérias será $243$ vezes o número inicial da cultura.