Questão 148 do ENEM 2016 — Matemática

Entendendo o problema

A questão nos dá a distância entre duas cidades em um mapa com uma determinada escala e pede para descobrirmos qual será essa distância em um novo mapa com uma escala diferente.

O conceito de escala

A escala de um mapa é a razão entre a distância medida no desenho ($d$) e a distância real ($D$). Podemos escrever isso como: $E = \frac{d}{D}$ Uma escala de $1 : 30\ 000$ significa que cada $1\text{ cm}$ no mapa corresponde a $30\ 000\text{ cm}$ na realidade.

Calculando a distância real

Primeiro, vamos descobrir a distância real entre as cidades A e B usando as informações do primeiro mapa. Sabemos que a distância no mapa é $d = 5\text{ cm}$ e a escala é $1 : 30\ 000$. Substituindo na fórmula: $\frac{1}{30\ 000} = \frac{5}{D}$ Multiplicando cruzado, temos: $D = 5 \times 30\ 000$ $D = 150\ 000\text{ cm}$ Essa é a distância real entre as duas cidades. Não precisamos converter para quilômetros ou metros, pois a resposta final também será pedida em centímetros.

Encontrando a distância no novo mapa

Agora, vamos construir o novo mapa com a escala de $1 : 20\ 000$. Queremos encontrar a nova distância no mapa ($d'$), sabendo que a distância real ($D$) continua sendo $150\ 000\text{ cm}$. Usando a fórmula da escala novamente: $\frac{1}{20\ 000} = \frac{d'}{150\ 000}$ Isolando $d'$: $d' = \frac{150\ 000}{20\ 000}$ Simplificando os zeros (dividindo o numerador e o denominador por $10\ 000$): $d' = \frac{15}{2}$ $d' = 7,5\text{ cm}$

Portanto, no novo mapa, a distância em linha reta entre as cidades A e B será de $7,50\text{ cm}$.