Questão 176 do ENEM 2025 — Matemática

ENEM 2025MatemáticaReaplicação

Em um país, todos os produtos comercializados estão associados a uma única sequência numérica de 13 dígitos, e cada sequência numérica pode ser representada por um código de barras. Essas sequências são formadas de acordo com as seguintes regras:

  • os três primeiros dígitos são associados ao país que comercializa o produto. Esses dígitos são 7, 8 e 9 (nessa ordem);
  • dígitos nas posições quatro a nove identificam a empresa que comercializa o produto. Eles assumem os valores 4, 5, 6 ou 7;
  • dígitos nas posições dez a doze identificam o produto. Eles podem ser qualquer algarismo de 0 a 9.

O último dígito, chamado de dígito verificador, é consequência dos doze primeiros, sendo obtido por meio de operações, previamente definidas, realizadas com os doze primeiros.

Quantos diferentes códigos de barras podem estar associados a produtos comercializados nesse país?
A
$4^6 \times 9^3$
$4^6 \times 10^3$
Resposta correta
C
$10^6 \times 10^3$
D
$3! \times 4^6 \times 10^3$
E
$(6 \times 4) \times (10 \times 3)$
Gabarito oficial: alternativa B

Resolução comentada

Para resolver essa questão, vamos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem, que nos diz que se um evento é composto por várias etapas sucessivas e independentes, o número total de possibilidades é a multiplicação das possibilidades de cada etapa.

O código de barras é formado por uma sequência de 1313 dígitos. Vamos analisar as possibilidades para cada parte dessa sequência, de acordo com as regras dadas no enunciado:

1. Os três primeiros dígitos (posições 1, 2 e 3): O enunciado afirma que esses dígitos são 77, 88 e 99, exatamente nessa ordem. Como não há outra escolha para essas posições, temos apenas 11 possibilidade para esse bloco.

2. Os dígitos que identificam a empresa (posições 4 a 9): As posições 4,5,6,7,84, 5, 6, 7, 8 e 99 totalizam 66 dígitos. Para cada uma dessas posições, podemos usar os algarismos 4,5,64, 5, 6 ou 77. Isso significa que temos 44 opções de escolha para cada um dos 66 dígitos. Multiplicando as possibilidades, temos: 4×4×4×4×4×4=46 possibilidades4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^6 \text{ possibilidades}

3. Os dígitos que identificam o produto (posições 10 a 12): As posições 10,1110, 11 e 1212 totalizam 33 dígitos. Para cada uma delas, podemos usar qualquer algarismo de 00 a 99, o que nos dá 1010 opções por posição. Multiplicando as possibilidades, temos: 10×10×10=103 possibilidades10 \times 10 \times 10 = 10^3 \text{ possibilidades}

4. O dígito verificador (posição 13): O último dígito é consequência dos doze primeiros. Isso significa que, uma vez escolhidos os 1212 primeiros dígitos, o 13∘13^{\circ} dígito já estará automaticamente definido pelas operações matemáticas previamente estabelecidas. Portanto, não temos liberdade de escolha aqui, resultando em apenas 11 possibilidade.

Calculando o total de códigos de barras: Agora, basta multiplicar as possibilidades de cada etapa para encontrar o número total de códigos de barras diferentes que podem ser formados: Total=1×46×103×1=46×103\text{Total} = 1 \times 4^6 \times 10^3 \times 1 = 4^6 \times 10^3

Assim, o número de diferentes códigos de barras que podem estar associados a produtos comercializados nesse país é 46×1034^6 \times 10^3.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2025 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.