Questão 170 do ENEM 2016 — Matemática

Entendendo o Problema

O enunciado nos apresenta uma sequência de quadrados onde a medida do lado de cada quadrado corresponde à sua posição na sequência. Ou seja:

• O quadrado na posição $1$ tem lado $1 \text{ cm}$.
• O quadrado na posição $2$ tem lado $2 \text{ cm}$.
• O quadrado na posição $n$ tem lado $n \text{ cm}$.

O objetivo é encontrar uma expressão algébrica que represente a diferença entre a área de um quadrado na posição $n$ (chamada de $A_n$) e a área do quadrado imediatamente anterior, na posição $n-1$ (chamada de $A_{n-1}$), para $n \ge 2$.

Modelando as Áreas

Sabemos que a área de um quadrado é dada pelo quadrado da medida do seu lado. Assim, podemos escrever as expressões para as áreas dos quadrados nas posições $n$ e $n-1$:

• A área do quadrado na posição $n$ é: $A_n = n^2$

• A área do quadrado na posição $n-1$ (que tem lado medindo $n-1$) é: $A_{n-1} = (n-1)^2$

Calculando a Diferença

Agora, precisamos calcular a diferença $A_n - A_{n-1}$. Substituindo as expressões que encontramos, temos:

$A_n - A_{n-1} = n^2 - (n-1)^2$

Para resolver essa expressão, precisamos desenvolver o produto notável $(n-1)^2$, que é o quadrado da diferença de dois termos. A regra nos diz que $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Aplicando isso, obtemos:

$(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$

Substituindo esse resultado de volta na nossa equação da diferença, lembrando de manter os parênteses por causa do sinal negativo que antecede a expressão:

$A_n - A_{n-1} = n^2 - (n^2 - 2n + 1)$

Agora, distribuímos o sinal negativo para todos os termos dentro dos parênteses (invertendo seus sinais):

$A_n - A_{n-1} = n^2 - n^2 + 2n - 1$

Os termos $n^2$ e $-n^2$ se cancelam, restando apenas:

$A_n - A_{n-1} = 2n - 1$

Portanto, a diferença entre a área de um quadrado de posição $n$ e a do seu antecessor é dada pela expressão $2n - 1$.

Isso corresponde à alternativa A.