Questão 72 do ENEM 2013 — Ciências da Natureza

Para entendermos o que acontece com a frequência do som produzido pelo violão, precisamos analisar a física das ondas estacionárias em cordas vibrantes.

Quando tocamos a corda de um violão solta, ela vibra formando uma onda estacionária presa nas duas extremidades. No harmônico fundamental (o som mais grave que a corda pode emitir), o comprimento da corda $L$ corresponde a meio comprimento de onda $\lambda$. Podemos escrever essa relação como:

$L = \frac{\lambda}{2} \implies \lambda = 2L$

A frequência $f$ do som emitido está relacionada à velocidade $v$ de propagação da onda na corda e ao seu comprimento de onda $\lambda$ pela equação fundamental da ondulatória:

$v = \lambda \cdot f$

Isolando a frequência, temos:

$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{2L}$

A velocidade $v$ da onda depende apenas das características físicas da corda (sua densidade linear) e da força de tração (tensão) aplicada a ela pelas tarraxas. Como estamos apenas pressionando a corda no braço do violão, a tensão e a densidade linear permanecem praticamente inalteradas, o que significa que a velocidade $v$ é constante.

O enunciado nos diz que a corda é comprimida exatamente na metade do seu comprimento original. Isso significa que o novo comprimento da corda vibrante será $L' = \frac{L}{2}$.

Vamos ver o que acontece com o novo comprimento de onda $\lambda'$:

$\lambda' = 2L' = 2 \left(\frac{L}{2}\right) = L$

Como o comprimento de onda original era $\lambda = 2L$, percebemos que o novo comprimento de onda é exatamente a metade do original:

$\lambda' = \frac{\lambda}{2}$

Agora, substituindo esse novo comprimento de onda na equação da frequência, obtemos a nova frequência $f'$:

$f' = \frac{v}{\lambda'} = \frac{v}{\frac{\lambda}{2}} = 2 \cdot \frac{v}{\lambda} = 2f$

Ou seja, ao reduzirmos o comprimento da corda pela metade, o comprimento de onda também é reduzido à metade. Como consequência, para que a velocidade da onda se mantenha constante, a frequência de vibração deve dobrar. No caso da nota Lá de $440\text{ Hz}$, a nova frequência seria de $880\text{ Hz}$ (uma oitava acima).

Analisando as alternativas, a única que descreve corretamente esse fenômeno é a que afirma que a frequência dobra porque o comprimento de onda foi reduzido à metade.