Questão 173 do ENEM 2025 — Matemática

ENEM 2025Matemática1ª aplicação

Em uma cidade, será construído um túnel que atravessa uma montanha para facilitar o trânsito de automóveis e bicicletas. Dois projetos foram elaborados e os esquemas com as vistas frontais desses projetos são apresentados na figura.

Esquemas das vistas frontais dos Projetos 1 e 2. O Projeto 1 mostra dois semicírculos: um para automóveis com diâmetro de 12 m e outro para bicicletas com diâmetro de 6 m. O Projeto 2 mostra um único semicírculo grande com diâmetro total de 18 m (3m + 6m + 6m + 3m).

O Projeto 1 conta com dois túneis, um exclusivo para bicicletas e o outro, para automóveis. O Projeto 2 conta com um único túnel, com espaços reservados para o trânsito exclusivo de bicicletas e automóveis. Nos dois projetos, os túneis têm o formato de semicilindro reto de mesma extensão, com vias de ida e volta para os dois tipos de veículos, separados por muretas.

O projeto a ser aprovado será aquele que apresentar a menor área da seção transversal, pois implicará menor volume de material retirado da montanha.

Considere 3 como aproximação para $\pi$ e desconsidere as espessuras das muretas.

O projeto a ser aprovado é
o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo $67,5 \text{ m}^2$.
Resposta correta
B
o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo $121,5 \text{ m}^2$.
C
o 1, pois apresenta área de seção transversal medindo $135 \text{ m}^2$.
D
o 2, pois apresenta área de seção transversal medindo $243 \text{ m}^2$.
E
qualquer um dos dois, pois apresentam áreas de suas seções transversais com medidas iguais.
Gabarito oficial: alternativa A

Resolução comentada

Nesta questão precisamos calcular a área da seção transversal de cada projeto e compará-las, já que o projeto aprovado será o de menor área.

O enunciado informa que os túneis têm o formato de semicilindros retos. Logo, a seção transversal de cada túnel é um semicírculo. A área de um círculo completo é A=π⋅r2A = \pi \cdot r^2; como se trata de semicírculos, usamos a metade:

Asemicıˊrculo=π⋅r22A_{\text{semicírculo}} = \frac{\pi \cdot r^2}{2}

O problema pede a aproximação π=3\pi = 3.

Projeto 1

O Projeto 1 tem dois túneis separados. De acordo com as medidas indicadas na figura, o túnel de automóveis tem diâmetro de 12 m12 \text{ m} e o de bicicletas, 6 m6 \text{ m}. Calculamos a área de cada um e somamos.

  1. Túnel para automóveis — diâmetro 12 m12 \text{ m}, logo raio r1=122=6 mr_1 = \frac{12}{2} = 6 \text{ m}: Acarros=3⋅622=3⋅362=1082=54 m2A_{\text{carros}} = \frac{3 \cdot 6^2}{2} = \frac{3 \cdot 36}{2} = \frac{108}{2} = 54 \text{ m}^2

  2. Túnel para bicicletas — diâmetro 6 m6 \text{ m}, logo raio r2=62=3 mr_2 = \frac{6}{2} = 3 \text{ m}: Abicicletas=3⋅322=3⋅92=272=13,5 m2A_{\text{bicicletas}} = \frac{3 \cdot 3^2}{2} = \frac{3 \cdot 9}{2} = \frac{27}{2} = 13,5 \text{ m}^2

Área total do Projeto 1: AProjeto 1=54+13,5=67,5 m2A_{\text{Projeto 1}} = 54 + 13,5 = 67,5 \text{ m}^2

Projeto 2

O Projeto 2 é um único túnel de uso misto. Somando as larguras das faixas indicadas na figura (3 m+6 m+6 m+3 m3 \text{ m} + 6 \text{ m} + 6 \text{ m} + 3 \text{ m}), o diâmetro total é: Diaˆmetro=3+6+6+3=18 m\text{Diâmetro} = 3 + 6 + 6 + 3 = 18 \text{ m}

O raio é r3=182=9 mr_3 = \frac{18}{2} = 9 \text{ m}, e a área da seção transversal fica: AProjeto 2=3⋅922=3⋅812=2432=121,5 m2A_{\text{Projeto 2}} = \frac{3 \cdot 9^2}{2} = \frac{3 \cdot 81}{2} = \frac{243}{2} = 121,5 \text{ m}^2

Conclusão

Comparando as áreas:

  • Projeto 1: 67,5 m267,5 \text{ m}^2
  • Projeto 2: 121,5 m2121,5 \text{ m}^2

Como deve ser aprovado o projeto de menor área de seção transversal, o escolhido é o Projeto 1, com 67,5 m267,5 \text{ m}^2. Note que, embora a largura total seja a mesma nos dois projetos (18 m18 \text{ m}), a área cresce com o quadrado do raio: dividir a via em dois túneis menores reduz o material retirado da montanha em relação a um único túnel de raio maior.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2025 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.