Questão 158 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como a escala afeta o volume de um objeto. O enunciado nos diz que a miniatura foi construída em uma escala linear de $1:400$. Isso significa que cada medida de comprimento (altura, largura, profundidade) do monumento original é $400$ vezes maior que a da miniatura.

Relação entre Escala Linear e Escala Volumétrica

Quando ampliamos ou reduzimos um objeto tridimensional, suas diferentes grandezas (comprimento, área e volume) não variam na mesma proporção. Se a razão de semelhança (escala linear) entre dois objetos é $k$, temos as seguintes relações:

• A razão entre os comprimentos é $k$.
• A razão entre as áreas é $k^2$.
• A razão entre os volumes é $k^3$.

No nosso caso, a escala linear de ampliação da miniatura para o monumento real é $k = 400$. Portanto, o fator de ampliação do volume será: $k^3 = 400^3$

Calculando o Volume Real

Sabemos que o volume da miniatura é de $25 \text{ cm}^3$. Para encontrar o volume do monumento original em centímetros cúbicos, basta multiplicar o volume da miniatura pelo fator de escala volumétrica: $V_{\text{real}} = V_{\text{miniatura}} \times k^3$ $V_{\text{real}} = 25 \times 400^3$

Vamos calcular $400^3$ separadamente para facilitar: $400^3 = (4 \times 10^2)^3 = 4^3 \times (10^2)^3 = 64 \times 10^6 = 64.000.000$

Agora, substituímos esse valor na equação do volume: $V_{\text{real}} = 25 \times 64.000.000$ $V_{\text{real}} = 1.600.000.000 \text{ cm}^3$

Conversão de Unidades

O comando da questão pede o volume do monumento original em metros cúbicos ($\text{m}^3$), mas nosso resultado está em centímetros cúbicos ($\text{cm}^3$). Precisamos fazer a conversão de unidades.

Sabemos que $1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$. Para descobrir a relação entre os volumes, elevamos ambos os lados da igualdade ao cubo: $(1 \text{ m})^3 = (100 \text{ cm})^3$ $1 \text{ m}^3 = 1.000.000 \text{ cm}^3$

Isso significa que, para converter de $\text{cm}^3$ para $\text{m}^3$, devemos dividir o valor por $1.000.000$ (o que equivale a cortar seis zeros): $V_{\text{real}} = \frac{1.600.000.000}{1.000.000} \text{ m}^3$ $V_{\text{real}} = 1.600 \text{ m}^3$

Portanto, o volume do monumento original é de $1.600 \text{ m}^3$, o que nos leva à alternativa correta.