Questão 158 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender que a instalação dos telefones com a mesma distância entre eles forma uma Progressão Aritmética (PA).

Sabemos que já existem dois telefones instalados:

• O primeiro está no quilômetro $30$, ou seja, nosso primeiro termo é $a_1 = 30$.
• O último está no quilômetro $480$.

Como serão colocados mais $8$ telefones entre esses dois, o total de telefones na estrada será de $10$ ($2$ originais + $8$ novos). Portanto, o telefone do quilômetro $480$ será o décimo termo da nossa PA ($a_{10} = 480$).

O que precisamos descobrir é a distância entre dois telefones consecutivos, que na PA chamamos de razão ($r$). Podemos usar a fórmula do termo geral da PA:

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo os valores que conhecemos para o décimo termo:

$480 = 30 + (10 - 1) \cdot r$ $480 = 30 + 9r$

Agora, isolamos a razão $r$:

$480 - 30 = 9r$ $450 = 9r$ $r = \frac{450}{9}$ $r = 50$

Isso significa que a distância entre cada telefone consecutivo será de $50$ quilômetros.

(Uma forma alternativa e mais intuitiva de pensar seria: a distância total entre o primeiro e o último telefone é $480 - 30 = 450$ km. Como teremos $10$ telefones no total, haverá $9$ intervalos entre eles. Dividindo a distância total pelo número de intervalos, temos $\frac{450}{9} = 50$ km por intervalo.)

Agora, basta calcular a posição dos $8$ novos telefones, somando $50$ km a partir do primeiro telefone ($30$):

• 1º novo telefone: $30 + 50 = 80$
• 2º novo telefone: $80 + 50 = 130$
• 3º novo telefone: $130 + 50 = 180$
• 4º novo telefone: $180 + 50 = 230$
• 5º novo telefone: $230 + 50 = 280$
• 6º novo telefone: $280 + 50 = 330$
• 7º novo telefone: $330 + 50 = 380$
• 8º novo telefone: $380 + 50 = 430$

A sequência numérica correspondente à quilometragem dos novos telefones é $80, 130, 180, 230, 280, 330, 380, 430$.