Questão 149 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar a medida da aresta de uma nova embalagem em formato de cubo. Sabemos que a capacidade (ou seja, o volume) desse cubo será igual a $80\%$ da capacidade da embalagem cilíndrica atual.

Primeiro, vamos calcular o volume da embalagem original, que é um cilindro circular reto. A fórmula para o volume de um cilindro é dada pela área da base multiplicada pela altura: $V_{\text{cilindro}} = \pi \cdot r^2 \cdot h$

O enunciado nos fornece os seguintes dados:

• Raio da base ($r$): $3 \text{ cm}$
• Altura ($h$): $15 \text{ cm}$
• Aproximação para $\pi$: $3$

Substituindo esses valores na fórmula, temos: $V_{\text{cilindro}} = 3 \cdot (3)^2 \cdot 15$ $V_{\text{cilindro}} = 3 \cdot 9 \cdot 15$ $V_{\text{cilindro}} = 27 \cdot 15$ $V_{\text{cilindro}} = 405 \text{ cm}^3$

Agora que sabemos o volume do cilindro, podemos calcular o volume da nova embalagem cúbica. O enunciado afirma que a capacidade do cubo é $80\%$ da capacidade do cilindro. Para calcular isso, multiplicamos o volume do cilindro por $0,80$ (que é a forma decimal de $80\%$): $V_{\text{cubo}} = 0,80 \cdot 405$ $V_{\text{cubo}} = 324 \text{ cm}^3$

O volume de um cubo é calculado elevando a medida de sua aresta ($a$) ao cubo: $V_{\text{cubo}} = a^3$

Como queremos encontrar a medida da aresta, precisamos extrair a raiz cúbica do volume que acabamos de calcular: $a^3 = 324 \implies a = \sqrt[3]{324}$

Para encontrar a resposta que corresponde a uma das alternativas, precisamos simplificar essa raiz. Vamos fazer isso fatorando o número $324$ em números primos:

• $324 \div 2 = 162$
• $162 \div 2 = 81$
• $81 \div 3 = 27$
• $27 \div 3 = 9$
• $9 \div 3 = 3$
• $3 \div 3 = 1$

A forma fatorada de $324$ é $2^2 \cdot 3^4$. Substituindo isso dentro da raiz cúbica, temos: $a = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^4}$

Para simplificar a raiz cúbica, precisamos agrupar os fatores em potências de $3$. Podemos reescrever $3^4$ como $3^3 \cdot 3^1$: $a = \sqrt[3]{2^2 \cdot 3^3 \cdot 3^1}$

O fator $3^3$ pode "sair" da raiz, pois a raiz cúbica de $3^3$ é o próprio $3$. Os demais fatores permanecem dentro da raiz: $a = 3 \cdot \sqrt[3]{2^2 \cdot 3}$

Calculando o que restou dentro da raiz ($2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$), chegamos ao resultado final: $a = 3\sqrt[3]{12} \text{ cm}$

Portanto, a medida da aresta da nova embalagem deve ser $3\sqrt[3]{12} \text{ cm}$.