Questão 149 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular uma probabilidade condicional. O enunciado nos diz que uma peça defeituosa foi sorteada e quer saber a chance de ela ter vindo da máquina $M_2$. Esse é um problema clássico que pode ser resolvido pelo Teorema de Bayes ou, de forma mais intuitiva, pensando em partes de um todo.

Primeiro, vamos organizar as informações dadas sobre a produção de cada máquina e suas respectivas taxas de defeito:

• Máquina $M_1$: produz $25\%$ das peças, e $2\%$ delas são defeituosas.
• Máquina $M_2$: produz $30\%$ das peças, e $3\%$ delas são defeituosas.
• Máquina $M_3$: produz $45\%$ das peças, e $4\%$ delas são defeituosas.

Calculando o total de peças defeituosas

Vamos imaginar, para facilitar as contas, que a fábrica produza um total de $10.000$ peças.

• A máquina $M_1$ produz $25\%$ de $10.000$, ou seja, $2.500$ peças. Como $2\%$ dessas peças têm defeito, a quantidade de peças defeituosas de $M_1$ é: $0,02 \times 2.500 = 50 \text{ peças}$

• A máquina $M_2$ produz $30\%$ de $10.000$, ou seja, $3.000$ peças. Como $3\%$ dessas peças têm defeito, a quantidade de peças defeituosas de $M_2$ é: $0,03 \times 3.000 = 90 \text{ peças}$

• A máquina $M_3$ produz $45\%$ de $10.000$, ou seja, $4.500$ peças. Como $4\%$ dessas peças têm defeito, a quantidade de peças defeituosas de $M_3$ é: $0,04 \times 4.500 = 180 \text{ peças}$

Somando tudo, o número total de peças defeituosas na fábrica é: $50 + 90 + 180 = 320 \text{ peças defeituosas}$

Calculando a probabilidade pedida

O problema nos diz que a peça escolhida é defeituosa. Isso significa que o nosso "universo" (ou espaço amostral) não é mais o total de $10.000$ peças, mas sim apenas as $320$ peças defeituosas.

Queremos saber a probabilidade de essa peça ter sido produzida pela máquina $M_2$. Sabemos que $M_2$ contribuiu com $90$ peças para esse grupo de defeituosas.

A probabilidade ($P$) será a razão entre o número de casos favoráveis (peças defeituosas de $M_2$) e o número de casos possíveis (total de peças defeituosas):

$P = \frac{90}{320}$

Simplificando a fração cortando os zeros:

$P = \frac{9}{32}$

Realizando a divisão de $9$ por $32$:

$P = 0,28125$

Para transformar esse valor decimal em porcentagem, basta multiplicar por $100\%$:

$P = 28,125\%$

O valor mais próximo entre as alternativas é $28,1\%$.