Questão 146 do ENEM 2012 — Matemática

ENEM 2012Matemática2ª aplicação

Em uma floresta, existem 4 espécies de insetos, A, B, C e P, que têm um ciclo de vida semelhante. Essas espécies passam por um período, em anos, de desenvolvimento dentro de seus casulos. Durante uma primavera, elas saem, põem seus ovos para o desenvolvimento da próxima geração e morrem. Sabe-se que as espécies A, B e C se alimentam de vegetais e a espécie P é predadora das outras 3. Além disso, a espécie P passa 4 anos em desenvolvimento dentro dos casulos, já a espécie A passa 8 anos, a espécie B passa 7 anos e a espécie C passa 6 anos. As espécies A, B e C só serão ameaçadas de extinção durante uma primavera pela espécie P, se apenas uma delas surgirem na primavera junto com a espécie P. Nessa primavera atual, todas as 4 espécies saíram dos casulos juntas.

Qual será a primeira e a segunda espécies a serem ameaçadas de extinção por surgirem sozinhas com a espécie predadora numa próxima primavera?

A primeira a ser ameaçada é a espécie C e a segunda é a espécie B.

A primeira a ser ameaçada é a espécie A e a segunda é a espécie B.

A primeira a ser ameaçada é a espécie C e a segunda é a espécie A.

A primeira a ser ameaçada é a espécie A e a segunda é a espécie C.

Resposta correta

A primeira a ser ameaçada é a espécie B e a segunda é a espécie C.

Gabarito oficial: alternativa D

Resolução comentada

Toda a análise parte de um marco comum: nesta primavera (que chamamos de ano 0) as quatro espécies saíram juntas. A partir daí, cada espécie só volta a surgir em anos múltiplos do seu ciclo de desenvolvimento:

Predadora P: ciclo $4$ → anos $4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, \dots$
Presa A: ciclo $8$ → anos $8, 16, 24, \dots$
Presa B: ciclo $7$ → anos $7, 14, 21, 28, \dots$
Presa C: ciclo $6$ → anos $6, 12, 18, 24, \dots$

A condição da ameaça

Uma presa só é ameaçada quando surge junto com P e sozinha, isto é, sem que nenhuma das outras duas presas apareça naquele mesmo ano. Então precisamos varrer os anos em que P surge (múltiplos de $4$ ) e ver, em cada um, qual presa aparece.

Varredura cronológica dos anos em que P surge

Ano (P sai)	A ( $8$ )?	B ( $7$ )?	C ( $6$ )?	Situação
$4$	não	não	não	nenhuma presa
$8$	sim	não	não	A sozinha com P
$12$	não	não	sim	C sozinha com P
$16$	sim	não	não	A sozinha (repetição)
$20$	não	não	não	nenhuma presa
$24$	sim	não	sim	A e C juntas → sem ameaça
$28$	não	sim	não	B sozinha com P

Lendo a ordem

O primeiro ano em que uma presa fica sozinha com o predador é o ano $8$ , e a presa é a A. O segundo ano é o $12$ , com a presa C. A espécie B, de ciclo $7$ , só encontra P isolada bem mais tarde, no ano $28$ , ficando fora das duas primeiras.

Portanto, a primeira ameaçada é A (ano 8) e a segunda é C (ano 12).

Conclusão

A primeira espécie ameaçada é a A e a segunda é a C, o que corresponde à alternativa D.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2012 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.