Questão 163 do ENEM 2014 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender a periodicidade com que cada produto é aplicado. O problema nos diz que:

• O fertilizante é aplicado a cada $40$ dias.
• O inseticida é aplicado a cada $32$ dias.
• O pesticida é aplicado a cada $28$ dias.

Como os três produtos foram aplicados juntos em um mesmo dia (o dia inicial), eles voltarão a ser aplicados juntos em um dia que seja múltiplo comum dos três intervalos de tempo. Para descobrir a primeira vez que isso acontecerá novamente, precisamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre $40$, $32$ e $28$.

Calculando o MMC

Uma das formas mais simples de encontrar o MMC é fazer a decomposição desses números em fatores primos. Vamos fatorar cada um deles:

• $40 = 8 \times 5 = 2^3 \times 5$
• $32 = 2 \times 16 = 2^5$
• $28 = 4 \times 7 = 2^2 \times 7$

O MMC é formado pela multiplicação de todos os fatores primos encontrados, escolhendo sempre o de maior expoente. Observando as fatorações, temos os fatores primos $2$, $5$ e $7$.

• Para o fator $2$, o maior expoente é $5$ (vindo do $32$).
• Para o fator $5$, o maior expoente é $1$ (vindo do $40$).
• Para o fator $7$, o maior expoente é $1$ (vindo do $28$).

Assim, montamos o cálculo do MMC:

$\text{MMC}(40, 32, 28) = 2^5 \times 5 \times 7$

Agora, basta resolver a multiplicação:

$\text{MMC}(40, 32, 28) = 32 \times 5 \times 7$ $\text{MMC}(40, 32, 28) = 160 \times 7$ $\text{MMC}(40, 32, 28) = 1120$

Conclusão

Isso significa que, após a primeira aplicação conjunta, os três produtos voltarão a coincidir no mesmo dia exatos $1120$ dias depois. Analisando as alternativas, chegamos à resposta correta.