Questão 170 do ENEM 2024 — Matemática

A questão nos pede para calcular a magnitude de um segundo terremoto ($M_2$) usando uma fórmula logarítmica que relaciona as magnitudes e as energias liberadas por dois tremores.

Primeiro, vamos organizar as informações que o enunciado nos fornece:

• A fórmula que relaciona as magnitudes e as energias é: $M_2 - M_1 = \frac{2}{3} \log \left( \frac{E_2}{E_1} \right)$
• A magnitude do primeiro terremoto é $M_1 = 6,9$.
• A energia liberada pelo primeiro terremoto ($E_1$) foi um décimo da energia do segundo ($E_2$). Matematicamente, isso significa que: $E_1 = \frac{E_2}{10}$

Dessa relação entre as energias, podemos isolar a fração $\frac{E_2}{E_1}$ que aparece dentro do logaritmo na nossa fórmula. Multiplicando cruzado, temos: $\frac{E_2}{E_1} = 10$ Isso faz todo o sentido: se o primeiro liberou um décimo da energia do segundo, o segundo liberou $10$ vezes a energia do primeiro.

Agora, vamos substituir os valores que encontramos na fórmula original: $M_2 - 6,9 = \frac{2}{3} \log(10)$

Lembrando das propriedades básicas dos logaritmos, quando a base não está escrita, assumimos que é a base $10$. O logaritmo de $10$ na base $10$ é a resposta para a pergunta: "$10$ elevado a quanto resulta em $10$?". A resposta é $1$. Portanto, $\log(10) = 1$.

Substituindo esse valor na nossa equação: $M_2 - 6,9 = \frac{2}{3} \cdot 1$ $M_2 - 6,9 = \frac{2}{3}$

Para isolar o $M_2$, passamos o $6,9$ somando para o outro lado: $M_2 = 6,9 + \frac{2}{3}$

Agora precisamos transformar a fração $\frac{2}{3}$ em um número decimal para realizar a soma. Dividindo $2$ por $3$, encontramos uma dízima periódica: $\frac{2}{3} \approx 0,666...$

Somando esse valor à magnitude inicial: $M_2 \approx 6,9 + 0,666...$ $M_2 \approx 7,566...$

O enunciado pede o valor aproximado com uma casa decimal. Olhando para a segunda casa decimal (que é um $6$), devemos arredondar a primeira casa decimal para cima. Assim, $7,566...$ se torna $7,6$.

Portanto, a magnitude aproximada do segundo terremoto é $7,6$.