Questão 152 do ENEM 2022 — Matemática

Nesta questão precisamos determinar o intervalo de espaço físico onde as fileiras de poltronas podem ficar e, em seguida, calcular quantas fileiras cabem nesse espaço.

Determinando os limites da sala

A norma técnica estabelece as distâncias a partir da tela em função da largura $L$ da tela. Assumindo a largura da tela indicada na figura, $L = 12\text{ m}$ (valor necessário para os cálculos), temos:

A distância mínima onde a primeira fileira pode ser instalada: $D_{\text{mín}} = 0,6 \cdot L = 0,6 \cdot 12 = 7,2 \text{ m}$

A distância máxima aceitável para a última fileira (a norma permite ampliar até $2,9L$): $D_{\text{máx}} = 2,9 \cdot L = 2,9 \cdot 12 = 34,8 \text{ m}$

Isso significa que todas as fileiras devem estar posicionadas entre a marca de $7,2\text{ m}$ e a marca de $34,8\text{ m}$ em relação à tela.

Calculando o número de fileiras

O espaço útil total disponível para distribuir as fileiras é a diferença entre a distância máxima e a mínima: $\text{Espaço útil} = 34,8 - 7,2 = 27,6 \text{ m}$

Como a distância entre os encostos de duas fileiras consecutivas é de $1\text{ m}$, dividimos o espaço útil por esse espaçamento para saber quantos intervalos de $1\text{ m}$ cabem: $\frac{27,6}{1} = 27,6 \text{ intervalos}$

Não podemos ter uma fração de intervalo para acomodar uma fileira inteira, então consideramos apenas a parte inteira: cabem $27$ intervalos completos de $1\text{ m}$.

Aqui está o detalhe decisivo da questão: a relação entre intervalos e objetos. Pense em uma cerca — para ter $1$ vão você precisa de $2$ postes; para ter $2$ vãos, de $3$ postes. O número de fileiras é sempre o número de intervalos mais um (a primeira fileira, que inicia a contagem): $\text{Total de fileiras} = \text{Intervalos} + 1 = 27 + 1 = 28 \text{ fileiras}$

Comprovando com Progressão Aritmética (PA)

Podemos modelar a situação como uma PA, em que a posição de cada fileira é um termo da sequência:

• Primeiro termo (primeira fileira): $a_1 = 7,2\text{ m}$.
• Razão (espaçamento): $r = 1\text{ m}$.
• O último termo (última fileira) deve respeitar o limite: $a_n \le 34,8\text{ m}$.

Aplicando a fórmula do termo geral: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$ $7,2 + (n - 1) \cdot 1 \le 34,8$ $(n - 1) \le 27,6$ $n \le 28,6$

Como $n$ deve ser inteiro, o valor máximo é $n = 28$.

Portanto, a sala comportará, no máximo, $28$ fileiras. A resposta é a alternativa C.