Questão 179 do ENEM 2023 — Matemática

A sombra do disco na parede é um círculo cujo tamanho muda conforme o disco se afasta da fonte de luz; vamos relacionar as duas posições por semelhança de triângulos.

As duas situações

• Na primeira, o disco está a $1$ m da fonte, projetando a sombra $S_1$ de área $A_1$.
• Na segunda, o disco é afastado mais $2$ m, ficando a $1 + 2 = 3$ m da fonte, projetando a sombra $S_2$ de área $A_2$.

O objetivo é obter $\frac{A_1}{A_2}$.

Relação por semelhança

A luz sai do ponto luminoso e tangencia as bordas do disco, formando um cone que projeta um círculo na parede. Seja $D$ a distância da fonte até a parede, $r$ o raio do disco, $d$ a distância da fonte até o disco e $R$ o raio da sombra na parede. Por semelhança de triângulos:

$\frac{R}{D} = \frac{r}{d} \implies R = \frac{r \cdot D}{d}$

A área da sombra (um círculo) é $A = \pi R^2$. Substituindo:

$A = \pi \left(\frac{r \cdot D}{d}\right)^2 = \pi \cdot \frac{r^2 \cdot D^2}{d^2}$

Como $\pi$, $r$ e $D$ são os mesmos nas duas situações, a área da sombra é inversamente proporcional ao quadrado da distância $d$ entre a fonte e o disco.

Calculando a razão

Para $S_1$, com $d_1 = 1$ m:

$A_1 = \pi \cdot \frac{r^2 \cdot D^2}{1^2} = \pi \cdot r^2 \cdot D^2$

Para $S_2$, com $d_2 = 3$ m:

$A_2 = \pi \cdot \frac{r^2 \cdot D^2}{3^2} = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot D^2}{9}$

Logo:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi \cdot r^2 \cdot D^2}{\dfrac{\pi \cdot r^2 \cdot D^2}{9}} = 9$

A primeira sombra tem área $9$ vezes maior que a segunda, o que corresponde à alternativa E.