Questão 163 do ENEM 2022 — Matemática

Entendendo o problema

A universidade tem $100$ professores: $60$ mestres e $40$ doutores. A diretoria quer conceder aumentos de modo que a nova média salarial de todos os professores não ultrapasse o teto de R$ 12.240,00.

Os mestres já receberam aumento de $25\%$ sobre o salário atual de R$ 8.000,00. Precisamos descobrir a maior porcentagem de aumento possível para os doutores, que hoje ganham R$ 12.000,00, sem estourar esse teto da média.

O limite da folha de pagamento

Ao trabalhar com médias, é útil raciocinar pelo valor total (a soma de todos os salários). Se a média máxima para os $100$ professores é R$ 12.240,00, o gasto máximo com a folha inteira é: $\text{Total máximo} = 100 \times 12.240 = 1.224.000$

Ou seja, a universidade dispõe de R$ 1.224.000,00 para pagar todos os salários reajustados.

O novo salário dos mestres

Os mestres ganhavam R$ 8.000,00 e tiveram aumento de $25\%$: $25\% \text{ de } 8.000 = \frac{25}{100} \times 8.000 = 2.000$

O novo salário de cada mestre é: $8.000 + 2.000 = 10.000$

Como são $60$ mestres, o gasto total com esse grupo é: $60 \times 10.000 = 600.000$

Os mestres consomem R$ 600.000,00 da folha.

O novo salário dos doutores

O que sobra para os doutores é o teto menos o gasto com os mestres: $1.224.000 - 600.000 = 624.000$

Esses R$ 624.000,00 se dividem entre os $40$ doutores: $\text{Novo salário do doutor} = \frac{624.000}{40} = 15.600$

Cada doutor passará a receber, no máximo, R$ 15.600,00.

Calculando o aumento percentual

O salário antigo do doutor era R$ 12.000,00 e o novo é R$ 15.600,00. O aumento em reais é: $15.600 - 12.000 = 3.600$

A porcentagem desse aumento em relação ao salário original é: $\text{Aumento (\%)} = \left( \frac{3.600}{12.000} \right) \times 100 = \left( \frac{36}{120} \right) \times 100 = 0,30 \times 100 = 30\%$

Portanto, o aumento a ser concedido aos doutores deverá ser de, no máximo, $30\%$, o que corresponde à alternativa D.