Questão 174 do ENEM 2014 — Matemática

Entendendo o problema

A questão pede o gráfico que relaciona a altura da água ($h$) com o volume ($V$) em dois reservatórios: um cilindro e um prisma de base quadrada, cujo lado da base é igual ao diâmetro da base do cilindro. Precisamos escrever $h$ em função de $V$ para cada um.

Cilindro ($h_1$)

Pelo enunciado, o volume até a altura $h_1$ é: $V = \pi \cdot R^2 \cdot h_1$

Como o eixo vertical do gráfico é a altura e o horizontal é o volume, isolamos $h_1$: $h_1 = \frac{1}{\pi \cdot R^2}\cdot V$

Prisma ($h_2$)

Do mesmo modo, o volume até a altura $h_2$ é: $V = 4 \cdot R^2 \cdot h_2 \quad\Rightarrow\quad h_2 = \frac{1}{4 \cdot R^2}\cdot V$

As duas relações são retas

Ambas têm a forma $y = a\cdot x$ (uma constante multiplicando $V$). Logo, os dois gráficos são retas que partem da origem $(0,0)$. Isso já elimina as alternativas C, D e E, que mostram curvas.

Qual reta é mais inclinada

A inclinação de cada reta é o número que multiplica $V$. Como $\pi \approx 3{,}14 < 4$, temos: $\pi \cdot R^2 < 4 \cdot R^2$

Ao dividir 1 por um número menor, obtém-se um resultado maior; portanto: $\frac{1}{\pi \cdot R^2} > \frac{1}{4 \cdot R^2}$

Ou seja, a inclinação de $h_1$ (cilindro) é maior que a de $h_2$ (prisma). Na prática: como o cilindro tem base de área menor, a água sobe mais rápido nele para o mesmo volume despejado.

Conclusão

Duas retas pela origem, com $h_1$ mais inclinada (acima de $h_2$): é exatamente o gráfico da alternativa B.