Questão 150 do ENEM 2020 — Matemática

Para descobrir qual é o fóssil mais antigo, precisamos determinar qual deles tem o maior tempo $t$ decorrido desde a morte do organismo. A questão nos fornece a função exponencial que relaciona a quantidade final de carbono-14, $Q(t)$, com a quantidade inicial, $Q_0$:

$Q(t) = Q_0 \cdot 2^{-\frac{t}{5730}}$

Podemos reorganizar essa equação para isolar a parte que contém o tempo $t$. Dividindo ambos os lados por $Q_0$, obtemos a proporção de carbono-14 que ainda resta no fóssil:

$\frac{Q(t)}{Q_0} = 2^{-\frac{t}{5730}}$

Lembrando das propriedades de potências com expoente negativo, podemos reescrever a expressão como:

$\frac{Q(t)}{Q_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}}$

O expoente $\frac{t}{5730}$ representa o número de "meias-vidas" que se passaram. A cada meia-vida (ou seja, a cada $5\,730$ anos), a quantidade de carbono-14 cai pela metade. Portanto, quanto mais antigo for o fóssil, maior será o tempo $t$, maior será o número de meias-vidas e menor será a fração $\frac{Q(t)}{Q_0}$.

Em outras palavras, o fóssil mais antigo é aquele em que a quantidade atual $Q(t)$ representa a menor porção da quantidade inicial $Q_0$. Vamos calcular essa razão para cada um dos fósseis da tabela e descobrir quantas meias-vidas se passaram para cada um:

• Fóssil 1: $\frac{Q(t)}{Q_0} = \frac{32}{128} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$ Passaram-se $2$ meias-vidas.

• Fóssil 2: $\frac{Q(t)}{Q_0} = \frac{8}{256} = \frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5$ Passaram-se $5$ meias-vidas.

• Fóssil 3: $\frac{Q(t)}{Q_0} = \frac{64}{512} = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$ Passaram-se $3$ meias-vidas.

• Fóssil 4: $\frac{Q(t)}{Q_0} = \frac{512}{1024} = \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^1$ Passou-se $1$ meia-vida.

• Fóssil 5: $\frac{Q(t)}{Q_0} = \frac{128}{2048} = \frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$ Passaram-se $4$ meias-vidas.

Comparando os resultados, notamos que o Fóssil 2 foi o que passou pelo maior número de meias-vidas ($5$ meias-vidas, o que equivale a $5 \cdot 5\,730 = 28\,650$ anos). Sendo assim, ele é o fóssil mais antigo encontrado na expedição.