Questão 161 do ENEM 2015 — Matemática

Para encontrar a medida de $d$, vale enxergar a malha como a repetição de um mesmo "ladrilho" quadrado. A figura mostra fitas pretas horizontais e verticais que se cruzam, deixando entre elas espaços vazios (os furos por onde passa a luz). O padrão se repete a cada distância $d$, marcada na própria figura tanto na horizontal quanto na vertical.

Analisando a célula de repetição

Como o padrão se repete a cada $d$ nas duas direções, podemos isolar uma célula unitária: um quadrado de lado $d$. A área total dessa célula é: $A_{\text{total}} = d \times d = d^2$

Calculando a área coberta

Segundo a figura, cada fita tem largura $1\text{ mm}$. Dentro da célula de lado $d$ passam duas fitas que bloqueiam o sol:

1. Uma faixa vertical de largura $1\text{ mm}$ e comprimento $d$, com área $1 \cdot d = d$.
2. Uma faixa horizontal de largura $1\text{ mm}$ e comprimento $d$, com área $1 \cdot d = d$.

Ao somar as áreas dessas duas faixas, contamos duas vezes a região onde elas se cruzam. Essa interseção é um quadradinho de $1\text{ mm}$ de lado, de área $1 \times 1 = 1\text{ mm}^2$. Para obter a área realmente coberta, somamos as faixas e subtraímos a interseção contada em dobro: $A_{\text{coberta}} = d + d - 1 = 2d - 1$

Montando e resolvendo a equação

A taxa de cobertura deve ser de $75\%$, ou seja, a razão entre a área coberta e a área total da célula vale $0,75 = \frac{3}{4}$: $\frac{2d - 1}{d^2} = \frac{3}{4}$

Multiplicando em cruz: $4 \cdot (2d - 1) = 3 \cdot d^2$ $8d - 4 = 3d^2$

Reorganizando na forma padrão $ax^2 + bx + c = 0$: $3d^2 - 8d + 4 = 0$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, calculamos o discriminante: $\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$

Então: $d = \frac{-(-8) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 4}{6}$

O que dá as raízes: $d_1 = \frac{8 + 4}{6} = \frac{12}{6} = 2\text{ mm}$ $d_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\text{ mm}$

Interpretando o resultado

Os dois valores são matematicamente possíveis, mas só um faz sentido físico. Como cada fita tem largura $1\text{ mm}$, o furo entre as fitas mede $d - 1$, que precisa ser positivo para existir espaço vazio. Se $d = \frac{2}{3}\text{ mm}$, o furo seria $\frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}\text{ mm}$, uma medida negativa e impossível. Logo, a única solução válida é $d = 2\text{ mm}$, o que corresponde à alternativa A.