Questão 166 do ENEM 2016 — Matemática

Precisamos comparar dois trajetos possíveis para a galeria entre os pontos $F$ e $B$: um em linha reta e outro seguindo uma semicircunferência. Para cada um, vamos descobrir o comprimento e, a partir do tempo gasto por metro, o tempo total. No fim, escolhemos o menor.

Tempo pelo segmento de reta

Pelo gráfico, os pontos ligados pela reta são $F = (-1, 1)$ e $B = (1, -1)$, com as coordenadas em quilômetros. A distância entre eles vem da fórmula da distância entre dois pontos:

$d = \sqrt{(x_B - x_F)^2 + (y_B - y_F)^2}$

Substituindo:

$d = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\ \text{km}$

Como a taxa de construção é dada por metro, convertemos de quilômetros para metros (multiplicando por $1000$) e usamos a aproximação $\sqrt{2} \approx 1,4$:

$d = 2000\sqrt{2} \approx 2000 \cdot 1,4 = 2800\ \text{m}$

Como cada metro em linha reta leva $1,0$ h:

$T_{\text{reta}} = 2800 \cdot 1,0 = 2800\ \text{horas}$

Tempo pela semicircunferência

No gráfico, a reta que liga $F$ a $B$ passa pela origem $O$, ou seja, é o diâmetro da circunferência que contém o arco. Logo o raio é a metade dessa distância:

$R = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\ \text{km}$

Uma circunferência inteira mede $2\pi R$; a semicircunferência (metade) mede $\pi R$. Usando $\pi \approx 3$:

$C = \pi R \approx 3 \cdot \sqrt{2}\ \text{km}$

Convertendo para metros e usando $\sqrt{2} \approx 1,4$:

$C = 3 \cdot 1000 \cdot \sqrt{2} \approx 3000 \cdot 1,4 = 4200\ \text{m}$

Como cada metro em curva leva $0,6$ h:

$T_{\text{arco}} = 4200 \cdot 0,6 = 2520\ \text{horas}$

Conclusão

Comparando: a reta leva $2800$ horas e a semicircunferência leva $2520$ horas. Mesmo sendo geometricamente mais longa, a curva é construída mais rápido por metro, o que a torna a opção mais veloz.

O menor tempo possível é de $\mathbf{2520}$ horas — alternativa B.