Questão 165 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver essa questão, vamos começar definindo algumas variáveis para representar as quantidades desconhecidas. Seja $H$ o número total de homens e $M$ o número total de mulheres que trabalham na empresa. O total de funcionários da empresa será, portanto, a soma $H + M$.

O enunciado nos dá as seguintes informações sobre a escolaridade dos funcionários:

• $\frac{1}{4}$ dos homens têm o ensino médio completo. Logo, a quantidade de homens com ensino médio é $\frac{1}{4}H$.
• $\frac{2}{3}$ das mulheres têm o ensino médio completo. Logo, a quantidade de mulheres com ensino médio é $\frac{2}{3}M$.

Além disso, a questão afirma que, entre todos os funcionários que têm o ensino médio completo, metade são homens. Se metade são homens, a outra metade só pode ser de mulheres. Isso significa que a quantidade de homens com ensino médio completo é exatamente igual à quantidade de mulheres com ensino médio completo. Podemos escrever isso matematicamente como:

$\frac{1}{4}H = \frac{2}{3}M$

Nosso objetivo é encontrar a fração que representa o número de homens em relação ao total de funcionários, ou seja, queremos calcular o valor de:

$\text{Fração} = \frac{H}{H + M}$

Para resolver isso, podemos usar a nossa equação anterior para expressar $M$ em função de $H$. Multiplicando cruzado ou isolando $M$, temos:

$M = \frac{1}{4}H \cdot \frac{3}{2}$ $M = \frac{3}{8}H$

Agora, substituímos essa expressão de $M$ na fração que queremos encontrar:

$\text{Fração} = \frac{H}{H + \frac{3}{8}H}$

Para somar os termos no denominador, lembramos que $H = \frac{8}{8}H$:

$\text{Fração} = \frac{H}{\frac{8}{8}H + \frac{3}{8}H}$ $\text{Fração} = \frac{H}{\frac{11}{8}H}$

Podemos simplificar o $H$ (já que o número de homens não é zero) e resolver a divisão de frações (conserva a primeira e multiplica pelo inverso da segunda):

$\text{Fração} = 1 \cdot \frac{8}{11} = \frac{8}{11}$

Portanto, a fração que representa o número de funcionários homens em relação ao total de funcionários é $\frac{8}{11}$.