Questão 140 do ENEM 2022 — Matemática

Para determinar o tempo mínimo de duração do torneio, precisamos focar na equipe que chegará à final. Como os jogos de diferentes grupos e chaves podem ocorrer simultaneamente, o fator que limita a velocidade do torneio é o tempo de descanso obrigatório que uma mesma equipe precisa ter entre as suas próprias partidas.

Primeiro, vamos calcular quantas partidas uma equipe finalista disputará ao longo de todo o campeonato.

Na fase de grupos, temos $4$ equipes em cada grupo jogando todas contra todas uma única vez. Isso significa que cada equipe enfrentará os outros $3$ adversários do seu grupo. Portanto, são $3$ partidas na fase de grupos.

Após essa fase, começam os jogos eliminatórios (mata-mata). A equipe que chegar à final passará pelas seguintes etapas:

• Oitavas de final: $1$ partida
• Quartas de final: $1$ partida
• Semifinal: $1$ partida
• Final: $1$ partida

Somando todas as etapas, uma equipe finalista jogará um total de $3 + 4 = 7$ partidas.

Agora, vamos analisar a regra do descanso. O enunciado diz que, se um time joga no domingo, ele descansa por $3$ dias (segunda, terça e quarta) e só pode voltar a jogar na quinta-feira. Isso estabelece um ciclo de $4$ dias entre o início de uma partida e o início da próxima ($1$ dia de jogo $+$ $3$ dias de descanso).

Aqui entra o detalhe mais importante da questão: o conceito de intervalos. Se a equipe vai disputar $7$ partidas, quantos períodos de descanso ela terá entre esses jogos?

Assim como temos $4$ espaços entre os $5$ dedos da nossa mão, entre $7$ jogos existem apenas $6$ intervalos de descanso. O torneio acaba no momento em que o juiz apita o final do $7$º jogo; não precisamos contabilizar dias de descanso após a grande final.

Podemos calcular o dia da final usando a lógica de uma Progressão Aritmética (PA), onde o primeiro jogo ocorre no dia $1$ ($a_1 = 1$), a razão é o ciclo de $4$ dias ($r = 4$) e queremos descobrir o dia do sétimo jogo ($a_7$):

$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r$

Substituindo os valores:

$a_7 = 1 + (7 - 1) \cdot 4$ $a_7 = 1 + 6 \cdot 4$ $a_7 = 1 + 24$ $a_7 = 25$

Portanto, o torneio precisará de, no mínimo, $25$ dias para ser concluído. Um erro comum seria multiplicar $7$ jogos por $4$ dias, chegando a $28$ dias, mas isso incluiria erroneamente um descanso após a entrega da taça.