Questão 174 do ENEM 2013 — Matemática

Entendendo o problema

O enunciado apresenta dois mapas do mesmo território: o Brasil inteiro e, em destaque, o estado do Rio de Janeiro ampliado. Cada mapa tem uma escala diferente, indicada na figura. Queremos descobrir quantas vezes a área correspondente ao estado foi ampliada ao passarmos do mapa do Brasil para o mapa em destaque.

De acordo com as escalas indicadas na figura, temos:

• Escala do mapa do Brasil: $1 : 25\ 000\ 000$
• Escala do mapa em destaque: $1 : 4\ 000\ 000$

Uma escala como $1 : 25\ 000\ 000$ significa que $1$ unidade de comprimento no desenho corresponde a $25\ 000\ 000$ unidades no tamanho real.

Relação entre escala linear e área

A escala é uma razão entre comprimentos: é uma escala linear. Quando queremos comparar áreas (grandezas bidimensionais), precisamos lembrar que, em figuras semelhantes, a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança linear.

Primeiro, vamos descobrir quantas vezes as medidas lineares foram ampliadas. No mapa em destaque, o estado é representado com escala $1:4\ 000\ 000$ (menos redução), enquanto no mapa do Brasil a escala é $1:25\ 000\ 000$ (mais redução). A razão entre as medidas lineares dos dois desenhos é:

$k = \frac{25\ 000\ 000}{4\ 000\ 000} = \frac{25}{4} = 6,25$

Isso significa que qualquer segmento no mapa em destaque é $6,25$ vezes maior que o segmento correspondente no mapa do Brasil.

Calculando a ampliação da área

Como a área é bidimensional, a ampliação da área é o quadrado da ampliação linear:

$\text{Ampliação da Área} = k^2 = \left(\frac{25}{4}\right)^2 = \frac{625}{16}$

Efetuando a divisão:

$\frac{625}{16} = 39,0625$

Portanto, a área foi ampliada aproximadamente $39$ vezes, um número maior que $30$ e menor que $40$, o que corresponde à alternativa D.