Questão 174 do ENEM 2015 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar a temperatura máxima atingida no interior da estufa, pois o enunciado nos diz que o maior número de bactérias é obtido exatamente nesse momento.

A temperatura em função do tempo é dada pela função quadrática: $T(h) = -h^2 + 22h - 85$

Como o coeficiente que acompanha $h^2$ é negativo ($a = -1$), o gráfico dessa função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Isso significa que o seu vértice representa o ponto de máximo da função.

O que queremos encontrar é o valor máximo da temperatura, ou seja, a coordenada $y$ do vértice da parábola ($T_v$). Podemos calcular isso de duas formas: usando diretamente a fórmula do $y_v$ ou encontrando primeiro o tempo em que a temperatura é máxima ($h_v$) e substituindo na função. Vamos pelo caminho do $h_v$, que costuma envolver contas mais simples.

A fórmula para a coordenada horizontal do vértice é: $h_v = -\frac{b}{2a}$

Substituindo os coeficientes $a = -1$ e $b = 22$: $h_v = -\frac{22}{2(-1)} = -\frac{22}{-2} = 11$

Isso significa que a temperatura máxima ocorre às $11$ horas. Para descobrir qual é essa temperatura, basta substituir $h = 11$ na função original: $T(11) = -(11)^2 + 22(11) - 85$ $T(11) = -121 + 242 - 85$ $T(11) = 121 - 85$ $T(11) = 36$

(Alternativamente, você poderia usar a fórmula $T_v = -\frac{\Delta}{4a}$, onde $\Delta = b^2 - 4ac = 22^2 - 4(-1)(-85) = 484 - 340 = 144$. Assim, $T_v = -\frac{144}{4(-1)} = 36$. O resultado é o mesmo!)

Portanto, a temperatura máxima atingida na estufa é de $36\ ^\circ\text{C}$.

Agora, precisamos classificar essa temperatura de acordo com os intervalos fornecidos no enunciado:

• Muito baixa: $T < 0$
• Baixa: $0 \leq T \leq 17$
• Média: $17 < T < 30$
• Alta: $30 \leq T \leq 43$
• Muito alta: $T > 43$

Como $36\ ^\circ\text{C}$ está no intervalo entre $30$ e $43$ ($30 \leq 36 \leq 43$), a temperatura no momento em que se obtém o maior número de bactérias é classificada como alta.