Questão 173 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos descobrir quantos trajetos diferentes João pode fazer e, em seguida, calcular o tempo total gasto para analisá-los.

Calculando o total de trajetos possíveis

João mora na cidade $A$ e precisa visitar $5$ clientes em cidades diferentes ($B$, $C$, $D$, $E$ e $F$), retornando para a cidade $A$ no final. O trajeto sempre terá o seguinte formato:

$A \rightarrow \_ \rightarrow \_ \rightarrow \_ \rightarrow \_ \rightarrow \_ \rightarrow A$

Como a primeira e a última cidade já estão fixadas (cidade $A$), precisamos apenas organizar a ordem de visita das $5$ cidades intermediárias. O número de maneiras de ordenar essas $5$ cidades é dado por uma permutação simples de $5$ elementos ($P_5$):

$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \text{ trajetos}$

Existem, portanto, $120$ sequências possíveis de viagem.

Considerando a simetria dos trajetos

O enunciado nos diz que João descarta as sequências simétricas de uma só vez. Isso significa que um trajeto de ida (como $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow A$) e o seu exato inverso ($A \rightarrow F \rightarrow E \rightarrow D \rightarrow C \rightarrow B \rightarrow A$) possuem o mesmo custo e são analisados juntos.

Como cada trajeto tem exatamente um trajeto simétrico correspondente, o número de análises que João precisará fazer cai pela metade:

$\text{Número de análises} = \frac{120}{2} = 60 \text{ análises}$

Calculando o tempo total

João gasta $1 \text{ min } 30 \text{ s}$ para examinar cada par de sequências simétricas. Para facilitar as contas, vamos converter esse tempo apenas para minutos. Sabemos que $30$ segundos equivalem a meio minuto ($0,5 \text{ min}$), logo:

$\text{Tempo por análise} = 1,5 \text{ min}$

Agora, basta multiplicar o número de análises pelo tempo gasto em cada uma delas:

$\text{Tempo total} = 60 \times 1,5$

$\text{Tempo total} = 90 \text{ minutos}$

Portanto, o tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis é de $90$ minutos.