Questão 145 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender como a quantidade de chocolate (e, consequentemente, o preço) varia quando alteramos as dimensões da moeda.

As moedas de chocolate têm o formato de um cilindro. O volume de um cilindro, que representa a quantidade de chocolate, é calculado pela fórmula:

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura (ou espessura) da moeda.

Vamos analisar a moeda original:

• O diâmetro é de $4 \text{ cm}$, logo, o raio $r_1$ é a metade disso: $r_1 = 2 \text{ cm}$.
• A espessura é $h$.
• O volume original é $V_1 = \pi \cdot (2)^2 \cdot h = 4\pi h$.
• O preço dessa moeda é \text{R\ } 1,50$.

Agora, vamos analisar a nova moeda sugerida por Pedro:

• O diâmetro passa a ser $8 \text{ cm}$, então o novo raio $r_2$ é $4 \text{ cm}$.
• A espessura continua sendo $h$.
• O novo volume é $V_2 = \pi \cdot (4)^2 \cdot h = 16\pi h$.

Comparando os dois volumes, podemos ver a relação entre eles:

$V_2 = 16\pi h = 4 \cdot (4\pi h) = 4 \cdot V_1$

Isso significa que a nova moeda tem $4$ vezes mais chocolate que a moeda original. Uma regra prática importante aqui é que, ao dobrarmos uma medida linear (como o raio ou o diâmetro) de uma figura bidimensional (a base do cilindro), a sua área é multiplicada por $2^2 = 4$. Como a espessura não mudou, o volume total também é multiplicado por $4$.

Como o enunciado afirma que o preço depende apenas da quantidade de chocolate, o novo preço deve ser $4$ vezes o preço da moeda original:

$\text{Novo Preço} = 4 \cdot \text{R\$ } 1,50 = \text{R\$ } 6,00$

A proposta de Pedro era cobrar \text{R\ } 3,00$, o que traria prejuízo para João. Portanto, João deve rejeitar a proposta, pois o preço correto e justo pela quantidade de chocolate seria$\text{R$ } 6,00$.