Questão 138 do ENEM 2012 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar como a quantidade total de laranjas foi dividida entre José, Carlos e Paulo nas duas partes do trajeto. Vamos chamar a quantidade total de laranjas de $x$.

Na primeira parte do trajeto, a divisão foi feita na proporção $6 : 5 : 4$. Isso significa que o total de laranjas foi dividido em $6 + 5 + 4 = 15$ partes iguais. A quantidade que cada um levou em relação ao total foi:

• José: $\frac{6}{15}x = \frac{2}{5}x$
• Carlos: $\frac{5}{15}x = \frac{1}{3}x$
• Paulo: $\frac{4}{15}x$

Na segunda parte do trajeto, a nova proporção foi de $4 : 4 : 2$. O total de partes agora é $4 + 4 + 2 = 10$. A nova distribuição ficou assim:

• José: $\frac{4}{10}x = \frac{2}{5}x$
• Carlos: $\frac{4}{10}x = \frac{2}{5}x$
• Paulo: $\frac{2}{10}x = \frac{1}{5}x$

O enunciado nos diz que um deles levou $50$ laranjas a mais no segundo trajeto em comparação ao primeiro. Vamos comparar as frações de cada um para descobrir quem foi:

• José: Levou $\frac{2}{5}x$ na primeira parte e $\frac{2}{5}x$ na segunda. A quantidade não mudou.
• Carlos: Levou $\frac{1}{3}x$ na primeira parte e $\frac{2}{5}x$ na segunda. Como $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$ e $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$, vemos que a fração de Carlos aumentou.
• Paulo: Levou $\frac{4}{15}x$ na primeira parte e $\frac{1}{5}x$ (que é igual a $\frac{3}{15}x$) na segunda. A fração de Paulo diminuiu.

Portanto, foi Carlos quem levou $50$ laranjas a mais na segunda parte. Podemos montar a seguinte equação para a diferença entre o que ele levou na segunda e na primeira parte: $\frac{2}{5}x - \frac{1}{3}x = 50$

Para resolver essa subtração de frações, encontramos o mínimo múltiplo comum (MMC) entre $5$ e $3$, que é $15$: $\frac{6x - 5x}{15} = 50$ $\frac{x}{15} = 50$ $x = 50 \cdot 15$ $x = 750$

Agora sabemos que o total de laranjas transportadas é $750$. O comando da questão pede a quantidade que José, Carlos e Paulo transportaram na segunda parte do trajeto. Basta substituir o valor de $x$ nas frações que encontramos para a segunda parte:

• José: $\frac{2}{5} \cdot 750 = 2 \cdot 150 = 300$ laranjas
• Carlos: $\frac{2}{5} \cdot 750 = 2 \cdot 150 = 300$ laranjas
• Paulo: $\frac{1}{5} \cdot 750 = 150$ laranjas

Assim, as quantidades transportadas por José, Carlos e Paulo na segunda parte foram, respectivamente, $300$, $300$ e $150$.