Questão 149 do ENEM 2014 — Matemática

Entendendo o Problema

A formiga sai do vértice $J$ e precisa chegar ao vértice $P$, mas só pode andar pela superfície da caixa (pelas faces e arestas), nunca atravessando o interior. Cada alternativa mostra um trajeto diferente sobre essa superfície, e queremos o de menor comprimento.

A ideia-chave: planificar

Quando um caminho passa por uma ou mais faces de um sólido, a forma de encontrar (e comparar) o menor trajeto é planificar as faces envolvidas — ou seja, "abrir" essas faces adjacentes num único plano, como se desdobrássemos o papelão da caixa. Depois de planificar, o menor caminho entre os dois pontos vira uma simples linha reta, cujo comprimento se obtém pelo Teorema de Pitágoras.

Uma consequência imediata disso: qualquer trajeto que siga só pelas arestas (fazendo "cantos") é mais longo do que o trajeto reto obtido na planificação. Por isso, caminhos que percorrem apenas arestas tendem a ser descartados.

Comparando os caminhos

Para decidir entre os trajetos que cruzam faces, planificamos as faces de cada um e comparamos os comprimentos das retas resultantes. O trajeto vencedor é aquele cuja planificação produz a menor reta ligando $J$ a $P$.

O caminho da alternativa E ($J \to K \to P$) passa pela face superior e depois pela face lateral. Ao planificar essas duas faces adjacentes num único plano, os pontos $J$ e $P$ ficam ligados por uma linha reta, e o ponto $K$ cai exatamente sobre a aresta comum às duas faces — sinal de que esse é o caminho mais curto pela superfície.

Como não temos aqui as medidas numéricas da caixa, não fazemos o cálculo numérico de cada reta; mas, aplicando esse método de planificação às faces de cada trajeto, o menor comprimento corresponde ao caminho da alternativa E.