Questão 153 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir a frase do enunciado para a linguagem matemática.

O texto afirma que "o cubo da área $S$ da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa $M$".

Vamos quebrar essa frase em partes:

• "O cubo da área $S$": matematicamente, isso é representado por $S^3$.
• "O quadrado de sua massa $M$": isso é representado por $M^2$.
• "É proporcional a": significa que podemos igualar as duas grandezas multiplicando uma delas por uma constante de proporcionalidade, que o enunciado chama de $k$ (com $k > 0$).

Juntando tudo, temos a seguinte equação: $S^3 = k \cdot M^2$

O comando da questão pede para escrevermos a área $S$ em função da massa $M$. Para isolar o $S$, precisamos extrair a raiz cúbica de ambos os lados da equação (ou, de forma equivalente, elevar ambos os lados à potência de $\frac{1}{3}$): $S = \sqrt[3]{k \cdot M^2}$

Lembrando da propriedade de radiciação e potenciação, onde $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$, podemos reescrever a expressão distribuindo o expoente fracionário para a constante $k$ e para a massa $M$: $S = (k \cdot M^2)^{\frac{1}{3}}$ $S = k^{\frac{1}{3}} \cdot (M^2)^{\frac{1}{3}}$

Multiplicando os expoentes de $M$ (já que $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$), obtemos a expressão final: $S = k^{\frac{1}{3}} \cdot M^{\frac{2}{3}}$

Comparando com as alternativas, essa expressão corresponde exatamente à alternativa D.