Questão 177 do ENEM 2011 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos comparar a rentabilidade anual de três opções de investimento. Embora o enunciado fornecido esteja resumido, pelo contexto da questão original do ENEM e pelas alternativas, sabemos que as opções de investimento oferecem as seguintes taxas em regime de juros compostos:

• Investimento A: $3\%$ ao mês.
• Investimento B: $36\%$ ao ano.
• Investimento C: $18\%$ ao semestre.

O nosso objetivo é encontrar qual deles rende mais ao final de um ano ($12$ meses). Para isso, vamos calcular a taxa anual equivalente para cada um deles usando o fator de atualização. O fator de atualização é dado por $1 + i$, onde $i$ é a taxa de juros na forma decimal.

Analisando o Investimento A

A taxa é de $3\%$ ao mês, o que corresponde a $i = 0,03$. Como um ano tem $12$ meses, o dinheiro renderá juros sobre juros durante $12$ períodos. O fator de multiplicação ao final de um ano será: $(1 + 0,03)^{12} = 1,03^{12}$

Consultando a tabela fornecida no enunciado, vemos que para $n = 12$, o valor de $1,03^{12}$ é $1,426$. Isso significa que o montante final é $142,6\%$ do valor inicial. Para encontrar a rentabilidade (o que rendeu além do valor inicial), subtraímos $1$ (que representa os $100\%$ iniciais): $1,426 - 1 = 0,426$ Ou seja, a rentabilidade anual do Investimento A é de $42,6\%$.

Analisando o Investimento B

A taxa já é dada ao ano: $36\%$. Portanto, não precisamos fazer conversões de período. A rentabilidade anual do Investimento B é diretamente $36\%$.

Analisando o Investimento C

A taxa é de $18\%$ ao semestre, o que corresponde a $i = 0,18$. Como um ano tem $2$ semestres, o fator de multiplicação ao final de um ano será elevado ao quadrado (pois o rendimento ocorre por $2$ períodos): $(1 + 0,18)^2 = 1,18^2$ Calculando esse valor: $1,18 \times 1,18 = 1,3924$ Subtraindo $1$ para encontrar a rentabilidade líquida: $1,3924 - 1 = 0,3924$ Ou seja, a rentabilidade anual do Investimento C é de $39,24\%$.

Conclusão

Comparando as rentabilidades anuais calculadas:

• Investimento A: $42,6\%$
• Investimento B: $36,0\%$
• Investimento C: $39,24\%$

Fica claro que o Investimento A é o mais vantajoso, pois sua rentabilidade anual ($42,6\%$) é superior à dos investimentos B e C.