Questão 171 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir as informações dadas no enunciado para a linguagem matemática, criando equações que relacionem os tempos de cada luz do semáforo.

Primeiro, vamos identificar o tempo de duração de cada luz em um ciclo completo:

• Tempo da luz verde: $X$ segundos.
• Tempo da luz amarela: $5$ segundos.
• Tempo da luz vermelha: vamos chamar de $V$ segundos.

O tempo total de um ciclo completo é a soma dos tempos em que cada luz fica acesa. O enunciado nos diz que esse tempo total é $Y$. Portanto, podemos escrever a seguinte equação: $Y = X + 5 + V$

O enunciado também nos fornece uma relação importante entre o tempo da luz verde e o tempo da luz vermelha: o tempo da luz verde ($X$) é igual a $\frac{2}{3}$ do tempo da luz vermelha ($V$). Em linguagem matemática, isso fica: $X = \frac{2}{3}V$

Como queremos encontrar uma expressão que relacione apenas $X$ e $Y$, precisamos eliminar a variável $V$ da nossa primeira equação. Para isso, vamos isolar $V$ na segunda equação. Multiplicando ambos os lados por $3$ e dividindo por $2$, obtemos: $V = \frac{3}{2}X$

Agora, substituímos essa expressão de $V$ na equação do tempo total do ciclo: $Y = X + 5 + \frac{3}{2}X$

Para eliminar o denominador e facilitar a manipulação algébrica, podemos multiplicar todos os termos da equação por $2$: $2Y = 2X + 10 + 3X$

Somando os termos semelhantes (que contêm $X$) no lado direito da equação: $2Y = 5X + 10$

Por fim, observando as alternativas, vemos que todas as equações estão igualadas a zero. Então, vamos passar o termo $2Y$ para o lado direito da igualdade (ou subtrair $2Y$ de ambos os lados): $0 = 5X - 2Y + 10$

Ou, reescrevendo de forma mais convencional: $5X - 2Y + 10 = 0$

Essa é exatamente a expressão apresentada na alternativa B.