Questão 159 do ENEM 2025 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos calcular a probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem simultaneamente: retirar a cédula correta e retirar as moedas corretas para formar exatamente o valor de R$ 10,75.

Analisando o que temos na bolsa

Primeiro, vamos organizar as informações sobre o que há na bolsa de Paula.

Cédulas disponíveis:

• $1$ de R$ 2,00
• $2$ de R$ 5,00
• $2$ de R$ 10,00
• $1$ de R$ 20,00
• $2$ de R$ 50,00

Somando tudo, temos um total de $1 + 2 + 2 + 1 + 2 = 8$ cédulas.

Moedas disponíveis:

• $1$ de R$ 0,10
• $1$ de R$ 0,25
• $1$ de R$ 0,50
• $1$ de R$ 1,00

Isso nos dá um total de $4$ moedas.

Descobrindo a combinação necessária

Paula vai retirar $1$ cédula e $2$ moedas e precisa que a soma seja exatamente R$ 10,75.

Olhando para os valores disponíveis, a única maneira de formar R$ 10,75 com uma cédula e duas moedas é:

• Retirar uma cédula de R$ 10,00.
• Retirar as moedas de R$ 0,50 e R$ 0,25 (pois $0,50 + 0,25 = 0,75$).

Qualquer outra combinação de cédula ou moedas não resultará no valor desejado.

Calculando as probabilidades

Como a retirada da cédula e a retirada das moedas são eventos independentes, podemos calcular a probabilidade de cada um separadamente e depois multiplicá-las.

1. Probabilidade de retirar a cédula de R$ 10,00: Existem $2$ cédulas de R$ 10,00 em um total de $8$ cédulas. A probabilidade ($P_c$) é: $P_c = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

2. Probabilidade de retirar as moedas de R$ 0,50 e R$ 0,25: Paula vai retirar $2$ moedas de um total de $4$. O número total de combinações possíveis de $2$ moedas que ela pode retirar é dado por uma combinação simples de $4$ elementos tomados $2$ a $2$: $C_{4,2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \text{ combinações possíveis}$

Dentre essas $6$ combinações, apenas $1$ nos interessa (a que contém exatamente a moeda de R$ 0,50 e a de R$ 0,25). Logo, a probabilidade ($P_m$) é: $P_m = \frac{1}{6}$

Probabilidade Total

Por fim, a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem juntos é o produto das probabilidades individuais: $P_{total} = P_c \times P_m = \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{24}$

Portanto, a probabilidade de Paula retirar exatamente o valor de sua despesa é $\frac{1}{24}$.