Questão 151 do ENEM 2024 — Matemática

Para classificar o triângulo $NPQ$ quanto aos seus ângulos e lados, precisamos analisar as propriedades geométricas geradas pelas dobraduras descritas.

O que a dobradura produz

A figura inicial $DCNM$ é um retângulo, logo todos os seus ângulos internos são retos ($90^\circ$). Em particular, $\angle DCN = 90^\circ$.

Segundo o enunciado, a segunda dobradura mantém $N$ fixo e sobrepõe o lado $CN$ a um segmento de $MN$, determinando o ponto $P$ em $MN$ e o ponto $Q$ em $DC$. Uma dobradura como essa funciona como uma reflexão (simetria axial) em relação ao vulto da dobra, o segmento $QN$. Assim, o triângulo $QCN$ é rebatido sobre o triângulo $QPN$, e os dois são congruentes.

Analisando os ângulos

Por essa congruência, o ângulo com vértice em $C$ ($90^\circ$) tem por imagem o ângulo com vértice em $P$. Logo $\angle NPQ = 90^\circ$, e o triângulo $NPQ$ é retângulo.

Analisando os lados

A dobra levou o lado $CN$ a repousar sobre a direção de $MN$, mantendo $N$ fixo. Isso faz do segmento $QN$ a bissetriz do ângulo com vértice em $N$ do retângulo, que mede $90^\circ$. A bissetriz divide esse ângulo ao meio, então o ângulo $\angle CNQ$ mede $45^\circ$.

Observe agora o triângulo original $QCN$: ele é retângulo em $C$ ($\angle C = 90^\circ$) e tem $\angle CNQ = 45^\circ$. Como a soma dos ângulos internos vale $180^\circ$, o terceiro ângulo é:

$180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Um triângulo com dois ângulos iguais ($45^\circ$ e $45^\circ$) é isósceles, e os lados opostos a esses ângulos são iguais. Portanto, os catetos coincidem: $QC = CN$.

Voltando ao triângulo dobrado $NPQ$, pela simetria da dobra seus lados correspondem aos do triângulo $QCN$:

• o lado $NP$ é a imagem de $CN$, logo $NP = CN$;
• o lado $PQ$ é a imagem de $QC$, logo $PQ = QC$.

Como $QC = CN$, concluímos que $PQ = NP$: o triângulo $NPQ$ tem dois lados iguais, sendo isósceles. Por ser retângulo, sua hipotenusa ($NQ$) é obrigatoriamente maior que os catetos, de modo que ele tem exatamente dois lados iguais — não é equilátero.

Conclusão

O triângulo $NPQ$ tem um ângulo reto e dois lados iguais, sendo classificado como retângulo e isósceles não equilátero. A resposta é a alternativa E.