Questão 148 do ENEM 2014 — Matemática

Identificando a curva

O assento do balanço está preso por hastes de tamanho fixo ao topo do suporte. Como a distância entre o assento e esse ponto de apoio é sempre a mesma durante o movimento, o assento descreve o conjunto de pontos que ficam a uma distância constante de um ponto fixo — ou seja, uma circunferência (aqui, o arco inferior dela).

Montando o plano cartesiano

O enunciado fixa as coordenadas:

• A origem $(0,0)$ está no topo do suporte, logo o centro da circunferência é $C(0,0)$.
• O eixo $x$ é paralelo ao chão e o eixo $y$ tem orientação positiva para cima.

O comprimento da haste do balanço, indicado na figura, corresponde ao raio da circunferência. Pelas alternativas do gabarito — em que aparece $\sqrt{4 - x^2}$ — esse raio é $R = 2$, pois $R^2 = 4$.

Equação da circunferência

Usamos a equação reduzida da circunferência: $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$

Substituindo o centro $(0,0)$ e $R = 2$: $x^2 + y^2 = 2^2$ $x^2 + y^2 = 4$

Escrevendo como função

O comando pede a trajetória na forma $y = f(x)$. Isolando $y$: $y^2 = 4 - x^2$ $y = \pm\,\sqrt{4 - x^2}$

Surgem duas possibilidades: o ramo positivo e o negativo. É a interpretação física que decide qual usar.

Como o eixo $y$ é positivo para cima e o balanço se movimenta abaixo do topo do suporte (a origem), todas as posições do assento têm coordenada $y$ negativa. Logo, a trajetória é o ramo inferior da circunferência, e escolhemos o sinal negativo: $f(x) = -\sqrt{4 - x^2}$

Essa função corresponde à alternativa D.

Por que não as outras

• Usar $R = 2$ direto no lugar de $R^2$ leva a $x^2 + y^2 = 2$ e a $-\sqrt{2 - x^2}$: erro de não elevar o raio ao quadrado.
• Escolher o ramo positivo ($+\sqrt{4 - x^2}$) ignora que o assento fica abaixo da origem.
• Modelar como parábola ($x^2 - 2$) troca a trajetória circular por uma quadrática, o que não corresponde ao movimento pendular de raio fixo.

Portanto, a resposta é a alternativa D.